9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:
Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin
\longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm
\alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos
\alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]
Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{1 - 2\cos^2{73^\circ}}{2\sin^2{73^\circ} - 1}\).
\[\frac{1 - 2\cos^2{73^\circ}}{2\sin^2{73^\circ} - 1} = \frac{-(1 - 2\sin^2{73^\circ})}{-(2\cos^2{73^\circ} - 1)} = \frac{-\cos146^\circ}{-\cos146^\circ} = 1\]
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt3\cdot\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ}{\sin^2{75^\circ} - \cos^2{75^\circ}}\).
\[\begin{gathered} \frac{\sqrt3\cdot\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ}{\sin^2{75^\circ} - \cos^2{75^\circ}} = \frac{\sqrt3\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ}{-(\cos^2{75^\circ} - \sin^2{75^\circ})} = \frac{\sqrt3\cdot\frac{1}{2}\cdot\sin150^\circ}{-(\cos150^\circ)} =\\= -\frac{\sqrt3}{2}\cdot\mathrm{tg}\,150^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}\cdot\mathrm{tg}\,(90^\circ + 60^\circ) = -\frac{\sqrt3}{2}\cdot(-\mathrm{ctg}\,60^\circ) = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt3} = \frac{1}{2} = 0,5\end{gathered}\]
Ответ: 0,5
Найдите значение выражения \(\dfrac{3\cos^2{39^\circ} - 1,5}{\cos{78^\circ}}\).
Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{3\cos^2{39^\circ} - 1,5}{\cos{78^\circ}} = \dfrac{1,5 \cdot (2\cos^2{39^\circ} - 1)}{\cos{78^\circ}} = \dfrac{1,5 \cdot \cos{78^\circ}}{\cos{78^\circ}} = 1,5.\]
Ответ: 1,5
Найдите значение выражения \(\dfrac{\sin{136^\circ \cdot \cos{136^\circ}}}{\sin{272^\circ}}\).
Используя формулу для синуса двойного угла, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{0,5 \cdot (2 \cdot \sin{136^\circ \cdot \cos{136^\circ})}}{\sin{272^\circ}} = \dfrac{0,5 \cdot \sin{272^\circ}}{\sin{272^\circ}} = 0,5.\]
Ответ: 0,5
Найдите значение выражения \[\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\]
если \(\alpha=30^\circ\).
Преобразуем данное выражение, используя сначала формулу суммы кубов \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), а затем формулу квадрата суммы \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\): \[\begin{aligned} &(\sin^2\alpha)^3+(\cos^2\alpha)^3+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha= (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)(\sin^4\alpha- \sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha)+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\\[1ex] &=\sin^4\alpha- \sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha= \sin^4\alpha+ 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2=1 \end{aligned}\]
Следовательно, при любом \(\alpha\) значение выражения равно \(1\).
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\mathrm{tg}\, 127^\circ\cdot\mathrm{ctg}\, 127^\circ - \cos^2 123^\circ - |\sin^2 123^\circ|\).
Так как \(\sin 127^\circ \neq 0 \neq \cos 127^\circ\), то \(\mathrm{tg}\, 127^\circ\cdot\mathrm{ctg}\, 127^\circ = 1\).
Так как \(\sin^2 123^\circ\geq 0\), то \(|\sin^2 123^\circ| = \sin^2 123^\circ\).
Исходное выражение равно \[1 - (\cos^2 127^\circ + \sin^2 127^\circ) = 1 - 1 = 0,\] так как согласно основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2 127^\circ + \sin^2 127^\circ = 1\).
Ответ: 0
Найдите значение выражения
\(\cos^3 2016^\circ + \sin 2016^\circ - \cos 2016^\circ - \sin^3 2016^\circ + \sin^2 2016^\circ\cdot \cos 2016^\circ - \sin 2016^\circ\cdot \cos^2 2016^\circ - 0,8\).
Обозначим \(2016^\circ = a\):
\(\cos^3 a + \sin a - \cos a - \sin^3 a + \sin^2 a\cdot \cos a - \sin a\cdot \cos^2 a - 0,8 =\)
\(= \cos^3 a + \sin^2 a\cdot \cos a - \cos a + \sin a - \sin^3 a - \sin a\cdot \cos^2 a - 0,8 =\)
\(= \cos a(\cos^2 a + \sin^2 a) - \cos a + \sin a - \sin a(\sin^2 a + \cos^2 a) - 0,8 =\)
\(= \cos a - \cos a + \sin a - \sin a - 0,8 = -0,8\).
Ответ: -0,8
