9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:
Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin
\longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm
\alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos
\alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]
Найдите значение выражения \(5\dfrac{\sin{\frac{\pi}{\sqrt{2}} \cdot \cos{\frac{\pi}{\sqrt{2}}}}}{\sin{\frac{2\pi}{\sqrt{2}}}}\).
Используя формулу для синуса двойного угла, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{2,5 \cdot (2 \cdot \sin{\frac{\pi}{\sqrt{2}} \cdot \cos{\frac{\pi}{\sqrt{2}}})}}{\sin{\frac{2\pi}{\sqrt{2}}}} = \dfrac{2,5 \cdot \sin{\frac{2\pi}{\sqrt{2}}}}{\sin{\frac{2\pi}{\sqrt{2}}}} = 2,5.\]
Ответ: 2,5
Найдите значение выражения \((\sin 45^\circ - \cos 45^\circ)^3 + \sin 1\cdot (\sin 45^\circ - \cos 45^\circ)\).
Так как \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ\), то исходное выражение равно \(0^3 + \sin 1\cdot 0 = 0\).
Ответ: 0
Найдите значение выражения \(\dfrac{\cos^2{\left(\sqrt{3}\right)} - 0,5}{\cos{\left(2\sqrt{3}\right)}}\).
Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{\cos^2{\left(\sqrt{3}\right)} - 0,5}{\cos{\left(2\sqrt{3}\right)}} = \dfrac{0,5 \cdot \left(2\cos^2{\left(\sqrt{3}\right)} - 1\right)}{\cos{\left(2\sqrt{3}\right)}} = \dfrac{0,5 \cdot \cos{\left(2\sqrt{3}\right)}}{\cos{\left(2\sqrt{3}\right)}}.\] Так как \(\cos{\left(2\sqrt{3}\right)} \neq 0\), то можно на него сократить: \[\dfrac{0,5 \cdot \cos{\left(2\sqrt{3}\right)}}{\cos{\left(2\sqrt{3}\right)}} = 0,5.\]
Ответ: 0,5
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sin^2{\frac{\pi}{5}}\cdot\cos^2{\frac{\pi}{5}}}{1 - \cos^4{\frac{2\pi}{5}} - \cos^2{\frac{2\pi}{5}}\cdot\sin^2{\frac{2\pi}{5}}}\).
\[\begin{gathered} \frac{\sin^2{\frac{\pi}{5}}\cdot\cos^2{\frac{\pi}{5}}}{1 - \cos^4{\frac{2\pi}{5}} - \cos^2{\frac{2\pi}{5}}\cdot\sin^2{\frac{2\pi}{5}}} = \frac{\frac{1}{4}\cdot4\cdot\sin^2{\frac{\pi}{5}}\cdot\cos^2{\frac{\pi}{5}}}{1 - \cos^2{\frac{2\pi}{5}}\cdot(\cos^2{\frac{2\pi}{5}} + \sin^2{\frac{2\pi}{5}})} =\\= \frac{\frac{1}{4}\cdot(2\sin{\frac{\pi}{5}}\cdot\cos{\frac{\pi}{5}})^2}{1 - \cos^2{\frac{2\pi}{5}}\cdot1} = \frac{\frac{1}{4}\cdot\sin^2{\frac{2\pi}{5}}}{1 - \cos^2{\frac{2\pi}{5}}} = \frac{\sin^2{\frac{2\pi}{5}}}{4\sin^2{\frac{2\pi}{5}}} = \frac{1}{4} = 0,25\end{gathered}\]
Ответ: 0,25
Найдите значение выражения \(\dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\sin{(-\sqrt{5}^\circ + 90^\circ)}}\).
Используя формулу приведения \(\sin(90^\circ \pm \alpha) = \cos \alpha\), исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\sin{(-\sqrt{5}^\circ + 90^\circ)}} = \dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\sin{(90^{\circ} -\sqrt{5}^\circ)}} = \dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\cos{\sqrt{5}^\circ}} = 15.\]
Ответ: 15
Найдите значение выражения \((\mathrm{tg}\,13^\circ + \mathrm{ctg}\,13^\circ)\cdot\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ\).
\[\begin{gathered} (\mathrm{tg}\,13^\circ + \mathrm{ctg}\,13^\circ)\cdot\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ = \left(\frac{\sin13^\circ}{\cos13^\circ} + \frac{\cos13^\circ}{\sin13^\circ}\right)\cdot\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ =\\= \left(\frac{\sin^2{13^\circ}}{\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ} + \frac{\cos^2{13^\circ}}{\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ}\right)\cdot\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ =\\= \frac{\sin^2{13^\circ} + \cos^2{13^\circ}}{\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ}\cdot\cos13^\circ\cdot\sin13^\circ = \sin^2{13^\circ} + \cos^2{13^\circ} = 1\end{gathered}\]
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sin^2{32^\circ} + \sin26^\circ}{5\cos^2{32^\circ}}\).
\[\begin{gathered} \frac{\sin^2{32^\circ} + \sin26^\circ}{5\cos^2{32^\circ}} = \frac{\sin^2{32^\circ} + \sin(90^\circ - 64^\circ)}{5\cos^2{32^\circ}} = \frac{\sin^2{32^\circ} + \cos64^\circ}{5\cos^2{32^\circ}} =\\= \frac{\sin^2{32^\circ} + 1 - 2\sin^2{32^\circ}}{5\cos^2{32^\circ}} = \frac{1 - \sin^2{32^\circ}}{5\cos^2{32^\circ}} = \frac{\cos^2{32^\circ}}{5\cos^2{32^\circ}} = \frac{1}{5} = 0,2\end{gathered}\]
Ответ: 0,2
