Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Векторы: правила сложения и вычитания (страница 2)

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно рассматривать как перемещение точки из положения \(A\) (начало движения) в положение \(B\) (конец движения). То есть траектория движения в этом случае не важна, важны только начало и конец!


 

\(\blacktriangleright\) Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.

 

\(\blacktriangleright\) Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.

 

Правила сложения коллинеарных векторов:

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).


 

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

 

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\), а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\).

 

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\):   \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).

Задание 8 #1810
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан правильный шестиугольник \(ABCDEF\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AF} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{EF} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное


 

Отрезки \(AD\), \(BE\) и \(CF\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам. \(EF \parallel AD\) и \(AOEF\) – параллелограмм; \(AB \parallel FC\) и \(ABOF\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{AF} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AF} = - \vec{a} -\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = -1\), \(y = -1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -2\).

Ответ: -2

Задание 9 #1811
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан правильный шестиугольник \(ABCDEF\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AF} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{AC} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное


 

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \overrightarrow{BC}\] Отрезки \(AD\), \(BE\) и \(CF\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам. \(BC \parallel AD\) и \(ABCO\) – параллелограмм; \(AF \parallel BE\) и \(ABOF\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \vec{a} + \vec{b}\] \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{a} + \vec{b} = 2\cdot\vec{a} + \vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 2\), \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 3\).

Ответ: 3

Задание 10 #677
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDEF\) – правильный шестиугольник со стороной длины \(4\), \(O\) – центр описанной около него окружности. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF}\).

Добавить задание в избранное

Опишем около \(ABCDEF\) окружность:



Так как равные хорды стягивают равные дуги, то \[\smile AB = \smile BC = \smile CD = \smile DE = \smile EF = \smile FA,\] тогда \(\smile AFED = \smile ABCD\), следовательно, \(AD\) – диаметр и точки \(A\), \(O\) и \(D\) лежат на одной прямой.
При этом \(AO = OD\) как радиусы, тогда \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OD}\) равны по длине и противоположны по направлению, значит, \(\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OD}\).

Аналогично \(\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OE}\) и \(\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OF}\), тогда
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = -\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = \vec{0}\).
Нулевой вектор имеет длину равную \(0\).

Ответ: 0

Задание 11 #2660
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – трапеция с основаниями \(AB\) и \(CD\), причём \(\angle ABC = 90^\circ\), \(BC = 1\), \((\vec{AC}, \vec{BD}) = 0,5\). Найдите \((\vec{AB}, \vec{CD})\).

Добавить задание в избранное

\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\), \(\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}\)



тогда

\[\begin{aligned} &0,5 = (\vec{AC}, \vec{BD}) = (\vec{AB} + \vec{BC}, \vec{BC} + \vec{CD}) = (\vec{AB} + \vec{BC}, \vec{BC}) + (\vec{AB} + \vec{BC}, \vec{CD}) =\\ & = (\vec{AB}, \vec{BC}) + (\vec{BC}, \vec{BC}) + (\vec{AB}, \vec{CD}) + (\vec{BC}, \vec{CD}) \end{aligned}\]

Так как \(ABCD\) – трапеция, а \(\angle ABC = 90^\circ\), то и \(\angle DCB = 90^\circ\), следовательно, \((\vec{AB}, \vec{BC}) = (\vec{BC}, \vec{CD}) = 0\), тогда \[0,5 = (\vec{AB}, \vec{CD}) + (\vec{BC}, \vec{BC}) = (\vec{AB}, \vec{CD}) + 1\,,\] откуда получаем, что \((\vec{AB}, \vec{CD}) = -0,5\).

Ответ: -0,5