Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вычисление синуса, косинуса и тангенса угла треугольника (страница 5)

В прямоугольном треугольнике:

 

\(\blacktriangleright\) Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\sin \alpha = \dfrac{a}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\cos \alpha = \dfrac{b}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[{\large{\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}}}\]

\(\blacktriangleright\) Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему: \[{\large{\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{b}{a}}}\]


 

Важные формулы:
\[{\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&\qquad& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}}}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}\, 0^\circ \phantom{000}& \phantom{000}\, 30^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 60^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 90^\circ \phantom{000}\\[1ex] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2 & 1\\[1ex] \hline \cos & 1 & \frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12 & 0\\[1ex] \hline \mathrm{tg} & 0 & \frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3 & \text{не сущ.}\\[1ex] \hline \mathrm{ctg}& \text{не сущ.} &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3 & 0\\[1ex] \hline \end{array}\]

Задание 29 #2956
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): высота \(CH\) равна \(2\sqrt6\), косинус угла \(A\) равен \(0,2\). Найдите \(AC\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим \(\triangle ABC\):


 

Так как косинус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то в \(\triangle AHC:\) \[\cos A=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac15\] Следовательно, можно принять \(AH=x\), \(AC=5x\). Тогда по теореме Пифагора из этого же треугольника: \[AC^2=AH^2+CH^2 \quad\Rightarrow\quad 25x^2=x^2+24 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm 1.\] Так как длина отрезка – неотрицательное число, то \(x=1\) и \(AC=5x=5.\)

Ответ: 5

Задание 30 #2106
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике \(CAT\) из вершины \(C\) прямого угла опущена высота \(CH\). Известно, что \(TH=12, CH=5\). Найдите \(13\sin \angle A\).

Добавить задание в избранное


 

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из его прямого угла, \(\triangle CHT\sim \triangle CAT\). Значит, \(\angle HCT=\angle A\). Поэтому будем искать \(\sin \angle HCT\).

 

Из треугольника \(HCT\): \[\sin \angle HCT=\dfrac{TH}{TC}\]

По теореме Пифагора из этого же треугольника мы можем найти \(TC\):

\[TC=\sqrt{TH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\]

Следовательно, \[\sin \angle A=\sin\angle HCT=\dfrac{12}{13} \quad \Rightarrow \quad 13\sin \angle A=12.\]

Ответ: 12

Задание 31 #616
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AD = 5\), \(AD\parallel BC\), \(BD\) перпендикулярна к \(AD\), \(\sin{\angle A} = \cos{\angle A}\), \(\sin{\angle C} = \dfrac{5}{\sqrt{34}}\). Найдите \(BC\).

Добавить задание в избранное




 

Треугольник \(ABD\) – прямоугольный, тогда \(\angle A\) – острый. В силу основного тригонометрического тождества (для любого угла \(\alpha\) выполнено \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\)) из равенства \(\sin{\angle A} = \cos{\angle A}\) получаем, что \[\sin{\angle A} = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},\] но \(\angle A\) – острый, тогда \[\sin{\angle A} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\] и, значит, \(\angle A = 45^{\circ}\).

\(\angle ABD = 90^{\circ} - \angle A = 45^{\circ} = \angle A\), тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный и \(BD = AD = 5\).

\(AD || BC\), \(BD\) перпендикулярна к \(AD\), тогда \(BD\) перпендикулярна и к \(BC\).

Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, то \[\dfrac{5}{\sqrt{34}} = \dfrac{5}{CD} \qquad\Rightarrow\qquad CD = \sqrt{34}.\]

По теореме Пифагора \(BC^2 = CD^2 - BD^2 = 34 - 25 = 9 = 3^2\), тогда \(BC = 3\).

Ответ: 3

Задание 32 #2105
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный \(\triangle CAT\) с острыми углами \(A\) и \(T\). Точка \(H\) – такая точка на стороне \(AT\), что \(\cos \angle ACH=\cos \angle ATC=0,2\). Найдите \(HT\), если известно, что \(AT=2,5\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. косинусы углов \(ACH\) и \(ATC\) равны, то равны и эти углы (т.к. это углы треугольников). Следовательно, \(\triangle ACH\sim \triangle CAT\) по двум углам (\(\angle ACH=\angle ATC, \ \angle A\) – общий). Следовательно, \(\angle AHC=\angle ACT=90^\circ\), то есть \(\triangle ACH\) тоже прямоугольный.

 

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из вершины его прямого угла, \(\triangle CHT\sim \triangle CAT\).

 

По определению косинуса \(\cos \angle CTH=\dfrac{HT}{CT}\). Следовательно, необходимо найти \(CT\).

 

Из треугольника \(CAT\): \[\cos \angle ATC=\dfrac{CT}{AT}=0,2 \quad \Rightarrow \quad CT=AT\cdot 0,2=2,5\cdot 0,2=0,5\]

Следовательно, \[HT=CT\cdot \cos \angle CTH=0,5\cdot 0,2=0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 33 #615
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\mathrm{ctg}\, \angle B = 0,6\). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\). Найдите \(AB + AC\).

Добавить задание в избранное





\[0,6 = \mathrm{ctg}\, \angle B = \dfrac{AB}{AC}.\]

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\), тогда \(7,5 = 0,5\cdot AB\cdot AC\).

Таким образом, \[\dfrac{AB}{AC} = 0,6,\qquad AB\cdot AC = 15.\] Перемножая равенства, получим \(AB^2 = 9\), тогда \(AB = 3\), \(AC = 5\), значит, \(AB + AC = 8\).

Ответ: 8

Задание 34 #614
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прямоугольнике \(ABCD\) известно, что \(BC:AB = 2:1\), \(AC\) – диагональ. Найдите отношение косинуса угла \(CAD\) к косинусу угла \(ACD\).

Добавить задание в избранное





По определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что \(\cos{\angle ACD} = \sin{\angle CAD}\), тогда \[\dfrac{\cos{\angle CAD}}{\cos{\angle ACD}} = \dfrac{\cos{\angle CAD}}{\sin{\angle CAD}} = \mathrm{ctg}\, \angle CAD = \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BC}{AB} = 2.\]

Ответ: 2