Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вычисление синуса, косинуса и тангенса угла треугольника (страница 5)

В прямоугольном треугольнике:

 

\(\blacktriangleright\) Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\sin \alpha = \dfrac{a}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\cos \alpha = \dfrac{b}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[{\large{\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}}}\]

\(\blacktriangleright\) Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему: \[{\large{\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{b}{a}}}\]


 

Важные формулы:
\[{\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&\qquad& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}}}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}\, 0^\circ \phantom{000}& \phantom{000}\, 30^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 60^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 90^\circ \phantom{000}\\[1ex] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2 & 1\\[1ex] \hline \cos & 1 & \frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12 & 0\\[1ex] \hline \mathrm{tg} & 0 & \frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3 & \text{не сущ.}\\[1ex] \hline \mathrm{ctg}& \text{не сущ.} &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3 & 0\\[1ex] \hline \end{array}\]

Задание 29
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): высота \(CH\) равна \(2\sqrt6\), косинус угла \(A\) равен \(0,2\). Найдите \(AC\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим \(\triangle ABC\):


 

Так как косинус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то в \(\triangle AHC:\) \[\cos A=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac15\] Следовательно, можно принять \(AH=x\), \(AC=5x\). Тогда по теореме Пифагора из этого же треугольника: \[AC^2=AH^2+CH^2 \quad\Rightarrow\quad 25x^2=x^2+24 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm 1.\] Так как длина отрезка – неотрицательное число, то \(x=1\) и \(AC=5x=5.\)

Ответ: 5

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике \(CAT\) из вершины \(C\) прямого угла опущена высота \(CH\). Известно, что \(TH=12, CH=5\). Найдите \(13\sin \angle A\).

Добавить задание в избранное


 

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из его прямого угла, \(\triangle CHT\sim \triangle CAT\). Значит, \(\angle HCT=\angle A\). Поэтому будем искать \(\sin \angle HCT\).

 

Из треугольника \(HCT\): \[\sin \angle HCT=\dfrac{TH}{TC}\]

По теореме Пифагора из этого же треугольника мы можем найти \(TC\):

\[TC=\sqrt{TH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\]

Следовательно, \[\sin \angle A=\sin\angle HCT=\dfrac{12}{13} \quad \Rightarrow \quad 13\sin \angle A=12.\]

Ответ: 12

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AD = 5\), \(AD\parallel BC\), \(BD\) перпендикулярна к \(AD\), \(\sin{\angle A} = \cos{\angle A}\), \(\sin{\angle C} = \dfrac{5}{\sqrt{34}}\). Найдите \(BC\).

Добавить задание в избранное




 

Треугольник \(ABD\) – прямоугольный, тогда \(\angle A\) – острый. В силу основного тригонометрического тождества (для любого угла \(\alpha\) выполнено \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\)) из равенства \(\sin{\angle A} = \cos{\angle A}\) получаем, что \[\sin{\angle A} = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},\] но \(\angle A\) – острый, тогда \[\sin{\angle A} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\] и, значит, \(\angle A = 45^{\circ}\).

\(\angle ABD = 90^{\circ} - \angle A = 45^{\circ} = \angle A\), тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный и \(BD = AD = 5\).

\(AD || BC\), \(BD\) перпендикулярна к \(AD\), тогда \(BD\) перпендикулярна и к \(BC\).

Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, то \[\dfrac{5}{\sqrt{34}} = \dfrac{5}{CD} \qquad\Rightarrow\qquad CD = \sqrt{34}.\]

По теореме Пифагора \(BC^2 = CD^2 - BD^2 = 34 - 25 = 9 = 3^2\), тогда \(BC = 3\).

Ответ: 3

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный \(\triangle CAT\) с острыми углами \(A\) и \(T\). Точка \(H\) – такая точка на стороне \(AT\), что \(\cos \angle ACH=\cos \angle ATC=0,2\). Найдите \(HT\), если известно, что \(AT=2,5\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. косинусы углов \(ACH\) и \(ATC\) равны, то равны и эти углы (т.к. это углы треугольников). Следовательно, \(\triangle ACH\sim \triangle CAT\) по двум углам (\(\angle ACH=\angle ATC, \ \angle A\) – общий). Следовательно, \(\angle AHC=\angle ACT=90^\circ\), то есть \(\triangle ACH\) тоже прямоугольный.

 

По свойству прямоугольного треугольника и высоты, опущенной из вершины его прямого угла, \(\triangle CHT\sim \triangle CAT\).

 

По определению косинуса \(\cos \angle CTH=\dfrac{HT}{CT}\). Следовательно, необходимо найти \(CT\).

 

Из треугольника \(CAT\): \[\cos \angle ATC=\dfrac{CT}{AT}=0,2 \quad \Rightarrow \quad CT=AT\cdot 0,2=2,5\cdot 0,2=0,5\]

Следовательно, \[HT=CT\cdot \cos \angle CTH=0,5\cdot 0,2=0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\mathrm{ctg}\, \angle B = 0,6\). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\). Найдите \(AB + AC\).

Добавить задание в избранное





\[0,6 = \mathrm{ctg}\, \angle B = \dfrac{AB}{AC}.\]

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\), тогда \(7,5 = 0,5\cdot AB\cdot AC\).

Таким образом, \[\dfrac{AB}{AC} = 0,6,\qquad AB\cdot AC = 15.\] Перемножая равенства, получим \(AB^2 = 9\), тогда \(AB = 3\), \(AC = 5\), значит, \(AB + AC = 8\).

Ответ: 8

Задание 34
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прямоугольнике \(ABCD\) известно, что \(BC:AB = 2:1\), \(AC\) – диагональ. Найдите отношение косинуса угла \(CAD\) к косинусу угла \(ACD\).

Добавить задание в избранное





По определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что \(\cos{\angle ACD} = \sin{\angle CAD}\), тогда \[\dfrac{\cos{\angle CAD}}{\cos{\angle ACD}} = \dfrac{\cos{\angle CAD}}{\sin{\angle CAD}} = \mathrm{ctg}\, \angle CAD = \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BC}{AB} = 2.\]

Ответ: 2