Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение рациональных неравенств (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Рациональное неравенство – это неравенство, которое можно свести к виду \[\large{\dfrac{P(x)}{Q(x)}\geqslant 0} \quad (*)\] где \(P(x),\ Q(x)\) – многочлены.
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant, \ >,\ <\))

 

Способы решения данного неравенства:

 

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности:

\[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} P(x)\geqslant 0\\ Q(x)>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} P(x)\leqslant 0\\ Q(x)<0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере):

 

1 ШАГ. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

 

Пусть после разложения неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)(2x^2+3x+5)(2x-x^2-3)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \geqslant0\] Помним, что если квадратное уравнение:

 

\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (дискриминант \(D>0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

 

\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (\(D=0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).

 

\(\sim\) не имеет корней (\(D<0\)), то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю, соответственно, не разлагается на линейные множители.

 

2 ШАГ. Рассмотрим скобки, в которых находится квадратный трехчлен с \(D<0\).

 

Если при \(x^2\) находится положительный коэффициент, то эти скобки можно вычеркнуть (в нашем неравенстве это \((2x^2+3x+5)\)).

 

Если при \(x^2\) находится отрицательный коэффициент, то при вычеркивании такой скобки знак неравенства меняем на противоположный (в нашем неравенстве это \((2x-x^2-3)\)).
Заметим, что если таких скобок несколько, то вычеркиваем их последовательно по одной, каждый раз меняя знак неравенства на противоположный.

 

Таким образом, неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \leqslant0\]

3 ШАГ. Рассмотрим линейные скобки.

 

Назовем скобку хорошей, если при \(x\) находится положительный коэффициент (такие скобки не трогаем), и плохой, если при \(x\) находится отрицательный коэффициент (в таких скобках меняем все знаки на противоположные, т.е. делаем их хорошими).

 

Если плохих скобок было четное количество, то знак неравенства не изменится, если нечетное – то знак неравенства изменится на противоположный.

 

В нашем неравенстве одна скобка \((3-x)\) и две скобки \((2-3x)\) (т.к. \((2-3x)^2=(2-3x)(2-3x)\)), т.е. всего три плохих скобки, следовательно, неравенство примет вид: \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(x-3)(3x-2)^2} \geqslant0\quad (**)\]

4 ШАГ. Отметим нули каждой скобки на числовой прямой, причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как у нас) или выколотые (если знак неравенства строгий).

 

Если мы отметили \(n\) точек, то числовая прямая разобьется на \(n+1\) промежутков.

 

Расставим знак на каждом промежутке справа налево.

 

Т.к. все скобки – хорошие, то первый знак всегда будет \("+"\). Если какая-то точка входит в четное количество скобок, то при переходе через нее (справа налево!) знак меняться не будет (например, точка \(-1\) входит в четное количество скобок: одна в числителе и три в знаменателе);

 

если точка входит в нечетное количество скобок, то знак будет меняться (единственная точка \(3\)).

 

5 ШАГ. Запишем ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((**)\) неравенства \(\geqslant 0\), то в ответ пойдут промежутки со знаком \("+"\) и закрашенные точки: \[x\in (-\infty;-1)\cup \left(-1;\frac23\right)\cup \left(\dfrac23;1\right]\cup(3;+\infty)\]

Задание 8
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + 3)(x^2 - 5)}{(2x - 3)(2x^2 - 5)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (2x - 3)(2x^2 - 5)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + 3)(x^2 - 5) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (x + 3)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = -3,\qquad\qquad x = \sqrt{5},\qquad\qquad x = -\sqrt{5}\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(2x - 3)(2x^2 - 5) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (2x - 3)(x - \sqrt{2,5})(x + \sqrt{2,5}) = 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered} x = 1,5\\ x = \sqrt{2,5}\\ x = -\sqrt{2,5} \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-\infty; -3]\cup[-\sqrt{5}; -\sqrt{2,5})\cup(1,5; \sqrt{2,5})\cup[\sqrt{5}; +\infty)\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-\infty; -3]\cup[-\sqrt{5}; -\sqrt{2,5})\cup(1,5; \sqrt{2,5})\cup[\sqrt{5}; +\infty)\)

Задание 9
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x<\dfrac{2x}{3-x}\]

Добавить задание в избранное

Перенесем слагаемые в одну сторону и приведем все дроби к общему знаменателю:

 

\(\dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x-\dfrac{2x}{3-x}<0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x+\dfrac{2x}{x-3}<0 \quad \Rightarrow\)  

\(\dfrac{x\cdot x+(x-5)(x-3)+2x\cdot x}{(x-3)x}<0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4x^2-8x+15}{x(x-3)}<0\)

 

Попробуем разложить числитель \(4x^2-8x+15\) на множители. Для этого решим уравнение \(4x^2-8x+15=0\). Т.к. дискриминант данного уравнения меньше нуля, то оно не имеет корней, следовательно, не разлагается на множители.
Таким образом, данный квадратичный трехчлен принимает значения строго одного знака: либо всегда положителен, либо отрицателен. Для того, чтобы найти этот знак, подставим любое число вместо \(x\), например, \(x=0\), и получим \(15>0\). Следовательно, для любого \(x\) выражение \(4x^2-8x+15>0\).

 

Т.к. мы имеем право делить неравенство на любое строго положительное выражение, то можно разделить правую и левую часть неравенства на \(4x^2-8x+15\), и тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac1{x(x-3)}<0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, неравенству удовлетворяют \(x\in (0;3)\).

Ответ:

\((0;3)\)

Задание 10
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x^2 - 4)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 7\neq 0\\ x + 2\neq 0\\ -x^2 - 16\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x \neq 7\\ x \neq -2. \end{cases}\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 1)(x^2 - 4)(2x - 8) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = \pm 2,\qquad\qquad x = 4.\]

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(-x^2 - 16 \leqslant -16 < 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 7,\qquad\qquad x = -2.\]

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x - 2)(x + 2)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16)}\geqslant 0\ \Leftrightarrow\ \dfrac{(x - 1)(x - 2)(x + 2)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(x^2 + 16)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in [1;2]\cup [4; 7).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\([1;2]\cup [4; 7)\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{2x+3}{x^2+2x}-\dfrac{1-14x}{x^2-2x}+\dfrac{54}{(2-x)^2}\leqslant0\]

Добавить задание в избранное

Приведем все дроби к общему знаменателю (заметим, что \((-a)^2=a^2\), следовательно, \((2-x)^2=(x-2)^2\)):   \(\dfrac{2x+3}{x(x+2)}-\dfrac{1-14x}{x(x-2)}+\dfrac{54}{(x-2)^2}\leqslant0\quad \Rightarrow \quad \dfrac{(2x+3)(x-2)^2-(1-14x)(x+2)(x-2)+54x(x+2)}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0 \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{(2x^3-5x^2-4x+12)-(-14x^3+x^2+56x-4)+(54x^2+108x)}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0 \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow\quad \dfrac{16x^3+48x^2+48x+16}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{16(x^3+3x^2+3x+1)}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0\)  

Заметим, что по формуле куба суммы \(x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3\), следовательно, \[\dfrac{16(x+1)^3}{x(x+2)(x-2)^2}\leqslant0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Тогда нам подходят \(x\in (-\infty;-2)\cup[-1;0)\).

Ответ:

\((-\infty;-2)\cup[-1;0)\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x^2-6-x}{x^2-4}+\dfrac{2x-3}{2-x}+\dfrac{x^2}x\leqslant 0\]

Добавить задание в избранное

По формуле сокращенного умножения \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac{x^2-6-x}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{2x-3}{x-2}+\dfrac{x^2}{x}\leqslant 0\]

Заметим, что дробь \(\dfrac{x^2}x\) при всех значениях \(x\), кроме \(x=0\), равна \(x\).

 

Решим неравенство при \(x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).  

\(\dfrac{x^2-6-x}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{2x-3}{x-2}+x\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2-6-x-(2x-3)(x+2)+x(x^2-4)}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac{x^3-x^2-6x}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x(x^2-x-6)}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0\)  

Разложим на множители выражение \(x^2-x-6\). Для этого решим квадратное уравнение \(x^2-x-6=0\). По теореме Виета корнями являются: \(x_1=-2\) и \(x_2=3\). Значит, выражение можно записать как \((x+2)(x-3)\).
Тогда неравенство перепишется в виде:

\[\dfrac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-2)}\leqslant 0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:


 

Заметим, что число \(-2\) выколото, т.к., несмотря на то, что оно находится в числителе, оно находится еще и в знаменателе.

 

Таким образом, нам подходят \(x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0]\cup(2;3]\).
Вспомним, что изначально мы решали неравенство для всех \(x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), то есть \(x\ne 0\), следовательно, окончательный ответ:

\[x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(2;3].\]

Ответ:

\((-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(2;3]\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство: \[\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x-2}\geqslant \dfrac1{x+1}-\dfrac1{x+2}\]

Добавить задание в избранное

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

 

\(\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}\right)-\left(\dfrac1{x-2}-\dfrac1{x+2}\right) \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}- \dfrac{x+2-(x-2)}{(x-2)(x+2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow\)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac2{(x-1)(x+1)}-\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac1{(x-1)(x+1)}-\dfrac2{(x-2)(x+2)}\geqslant 0\)  

Т.к. по формулам сокращенного умножения \((x-1)(x+1)=x^2-1\), \((x-2)(x+2)=x^2-4\), то:

 

\(\dfrac{x^2-4}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}-\dfrac{2(x^2-1)}{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)} \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2+2}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\leqslant 0\)  

Заметим, что выражение \(x^2+2\) всегда \(\geqslant 2\), то есть положительно, значит, можно разделить неравенство на это выражение и получится:

\[\dfrac1{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\leqslant 0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, подходят \(x\in (-2;-1)\cup(1;2)\).

Ответ:

\((-2;-1)\cup(1;2)\)

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{3x+5}{x^3-1}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{3-2x}{x^2-1}>0\]

Добавить задание в избранное

По формуле разности кубов \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), по формуле разности квадратов \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Преобразуем неравенство:

 

\(\dfrac{3x+5}{(x-1)(x^2+x+1)}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{3-2x}{(x-1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow\)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac{(3x+5)(x+1)+(2x+1)(x-1)(x+1)+(3-2x)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow \)  

\(\Rightarrow\quad \dfrac{(3x^2+8x+5)+(2x^3+x^2-2x-1)+(3x^2+3x+3-2x^3-2x^2-2x)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow \)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac{5x^2+7x+7}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0\)  

Попробуем разложить на множители выражения \(5x^2+7x+7\) и \(x^2+x+1\), для этого решим уравнения \(5x^2+7x+7=0\) и \(x^2+x+1=0\). Дискриминанты обоих уравнений отрицательны, следовательно, корней данные уравнения не имеют. Значит, каждый из данных квадратичных трехчленов всегда принимает значения одного знака: либо положителен, либо отрицателен. Подставив любое число вместо \(x\), например, \(x=0\), в каждый трехчлен, видим, что они оба положительны. Значит, можно разделить правую и левую части неравенства на оба этих положительных выражения:

\[\dfrac1{(x-1)(x+1)}>0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, нам подходят \(x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\)

1 2 3 .... 6