Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые дробные выражения (страница 4)

Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:

\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
\(13^3+3\cdot 13^2\cdot 7+3\cdot 13\cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000\)

 

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).

Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

 

\(\dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=\dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2\cdot2^2+2^4)}{7^4+(7\cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45\)

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[\dfrac{(2+3)(2^2+3^2)\cdot ...\cdot (2^{256}+3^{256})(2^{512}+3^{512})+2^{1024}}{3^{1024}}\]

Добавить задание в избранное

Умножим числитель и знаменатель данного выражения на \((3-2)\) (от этого данное выражение не изменит своего значения):

\[\dfrac{(3-2)(2+3)(2^2+3^2)\cdot ...\cdot (2^{256}+3^{256})(2^{512}+3^{512})+(3-2)\cdot2^{1024}}{(3-2)\cdot3^{1024}}\]

Применим формулу разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) для числителя:
\((3-2)(3+2)=3^2-2^2\)
\((3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4\)
\((3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8\)
\(...\)   \((3^{256}-2^{256})(3^{256}+2^{256})=3^{512}-2^{512}\)
\((3^{512}-2^{512})(3^{512}+2^{512})=3^{1024}-2^{1024}\)

 

Таким образом, дробь примет вид:

\[\dfrac{\left(3^{1024}-2^{1024}\right)+(3-2)\cdot2^{2014}}{(3-2)\cdot3^{1024}} =\dfrac{3^{1024}-2^{1024}+2^{1024}}{3^{1024}}=1\]

Ответ: 1