Найдите значение выражения \[\dfrac{(2+3)(2^2+3^2)\cdot ...\cdot (2^{256}+3^{256})(2^{512}+3^{512})+2^{1024}}{3^{1024}}\]
Умножим числитель и знаменатель данного выражения на \((3-2)\) (от этого данное выражение не изменит своего значения):
\[\dfrac{(3-2)(2+3)(2^2+3^2)\cdot ...\cdot (2^{256}+3^{256})(2^{512}+3^{512})+(3-2)\cdot2^{1024}}{(3-2)\cdot3^{1024}}\]
Применим формулу разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) для числителя:
\((3-2)(3+2)=3^2-2^2\)
\((3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4\)
\((3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8\)
\(...\)
\((3^{256}-2^{256})(3^{256}+2^{256})=3^{512}-2^{512}\)
\((3^{512}-2^{512})(3^{512}+2^{512})=3^{1024}-2^{1024}\)
Таким образом, дробь примет вид:
\[\dfrac{\left(3^{1024}-2^{1024}\right)+(3-2)\cdot2^{2014}}{(3-2)\cdot3^{1024}} =\dfrac{3^{1024}-2^{1024}+2^{1024}}{3^{1024}}=1\]
Ответ: 1
