9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:
\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]
Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
\(13^3+3\cdot 13^2\cdot 7+3\cdot 13\cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000\)
\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).
Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:
\(\dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=\dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2\cdot2^2+2^4)}{7^4+(7\cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45\)
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2\cdot65\cdot59 + 59^2}\).
\[\begin{gathered} \frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2\cdot65\cdot59 + 59^2} = \frac{(53^2 - 47^2) + (22^2 - 16^2)}{(65 - 59)^2} =\\= \frac{(53 - 47)\cdot(53 + 47) + (22 - 16)\cdot(22 + 16)}{6^2} =\\= \frac{6\cdot100 + 6\cdot38}{6^2} = \frac{6\cdot(100 + 38)}{6^2} = \frac{138}{6} = 23\end{gathered}\]
Ответ: 23
Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{2\cdot 4} + \dfrac{1}{4\cdot 6} + \dfrac{1}{6\cdot 8} + \dfrac{1}{8\cdot 10}\).
\[\dfrac{1}{2\cdot 4} + \dfrac{1}{4\cdot 6} + \dfrac{1}{6\cdot 8} + \dfrac{1}{8\cdot 10} = \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2}{2\cdot 4} + \dfrac{2}{4\cdot 6} + \dfrac{2}{6\cdot 8} + \dfrac{2}{8\cdot 10}\right).\]
Так как для всякого \(n\in\mathbb{N}\) верно \[\dfrac{2}{n\cdot(n + 2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2},\] то \[\begin{multline*} \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2}{2\cdot 4} + \dfrac{2}{4\cdot 6} + \dfrac{2}{6\cdot 8} + \dfrac{2}{8\cdot 10}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{10}\right) =\\ = \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10}\right) = 0,2. \end{multline*}\]
Ответ: 0,2
Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{56} + \dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{90}\).
\[\begin{multline*} \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{56} + \dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{90} = \\ = \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \dfrac{1}{4\cdot 5} + \dfrac{1}{5\cdot 6} + \dfrac{1}{6\cdot 7} + \dfrac{1}{7\cdot 8} + \dfrac{1}{8\cdot 9} + \dfrac{1}{9\cdot 10} \end{multline*}\]
Так как для всякого \(n\in\mathbb{N}\) верно \[\dfrac{1}{n\cdot(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1},\] то \[\begin{multline*} \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \dfrac{1}{4\cdot 5} + \dfrac{1}{5\cdot 6} + \dfrac{1}{6\cdot 7} + \dfrac{1}{7\cdot 8} + \dfrac{1}{8\cdot 9} + \dfrac{1}{9\cdot 10} = \\ =\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}\right) +\\ + \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7}\right) + \left(\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8}\right) + \left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9}\right) + \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}\right) \end{multline*}\].
В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, сократятся, следовательно, останется \[1 - \dfrac{1}{10} = 0,9.\]
Ответ: 0,9
Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot ...\cdot \dfrac{99}{100}\).
\[\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot ...\cdot \dfrac{99}{100} = \dfrac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot 99}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot ...\cdot 100}.\]
В числителе и знаменателе все множители сокращаются, кроме первого множителя в числителе и последнего множителя в знаменателе. В итоге останется \[\dfrac{1}{100} = 0,01.\]
Ответ: 0,01
Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \dfrac{1}{4\cdot 5} + ... + \dfrac{1}{998\cdot 999} + \dfrac{1}{999\cdot 1000}\).
Так как для всякого \(n\in\mathbb{N}\) верно \[\dfrac{1}{n\cdot(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1},\] то
\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 4} + \dfrac{1}{4\cdot 5} + ... + \dfrac{1}{998\cdot 999} + \dfrac{1}{999\cdot 1000} =\\ &\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) + ... + \left(\dfrac{1}{998} - \dfrac{1}{999}\right) + \left(\dfrac{1}{999} - \dfrac{1}{1000}\right). \end{aligned}\]
В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего сократятся, следовательно, останется \[1 - \dfrac{1}{1000} = 0,999.\]
Ответ: 0,999
Найдите значение выражения \(\biggl(\bigl((11^{21})^3\cdot 112 + 2\bigr)^2 - \bigl((11^{21})^3\cdot 112 - 2\bigr)^2\biggr)\cdot\dfrac{5}{(11^{21})^3}\).
\[\begin{aligned} &\biggl(\bigl((11^{21})^3\cdot 112 + 2\bigr)^2 - \bigl((11^{21})^3\cdot 112 - 2\bigr)^2\biggr)\cdot\dfrac{5}{(11^{21})^3} =\\ &\biggl((11^{21})^3\cdot 112 + 2 - (11^{21})^3\cdot 112 + 2\biggr)\biggl((11^{21})^3\cdot 112 + 2 + (11^{21})^3\cdot 112 - 2\biggr)\cdot\dfrac{5}{(11^{21})^3} =\\ &= 4\cdot(11^{21})^3\cdot 224\cdot\dfrac{5}{(11^{21})^3} = 4480. \end{aligned}\]
Ответ: 4480
Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{2\cdot 4} + \dfrac{1}{3\cdot 5} + \dfrac{1}{4\cdot 6} + \dfrac{1}{5\cdot 7} + \dfrac{1}{6\cdot 8} + \dfrac{1}{7\cdot 9} + \dfrac{1}{8\cdot 10}\). Ответ округлите до сотых.
\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{2\cdot 4} + \dfrac{1}{3\cdot 5} + \dfrac{1}{4\cdot 6} + \dfrac{1}{5\cdot 7} + \dfrac{1}{6\cdot 8} + \dfrac{1}{7\cdot 9} + \dfrac{1}{8\cdot 10} =\\ &= \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2}{1\cdot 3} + \dfrac{2}{2\cdot 4} + \dfrac{2}{3\cdot 5} + \dfrac{2}{4\cdot 6} + \dfrac{2}{5\cdot 7} + \dfrac{2}{6\cdot 8} + \dfrac{2}{7\cdot 9} + \dfrac{2}{8\cdot 10}\right). \end{aligned}\]
Так как для всякого \(n\in\mathbb{N}\) верно \[\dfrac{2}{n\cdot(n + 2)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2},\] то
\(\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2}{1\cdot 3} + \dfrac{2}{2\cdot 4} + \dfrac{2}{3\cdot 5} + \dfrac{2}{4\cdot 6} + \dfrac{2}{5\cdot 7} + \dfrac{2}{6\cdot 8} + \dfrac{2}{7\cdot 9} + \dfrac{2}{8\cdot 10}\right) =\)
\(= \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{10}\right) =\)
\(= \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{4}{9} + 0,2 = 0,(4) + 0,2 = 0,6(4)\). После округления получим \(0,64\).
Ответ: 0,64
