Решите уравнение \[- 2^{(2^x)} - 2 = -2^{2\cdot (2^x)}\,.\] Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите наименьший из них.
Сделаем замену \(t = 2^{(2^x)}\), \(t > 0\).
Так как при любом \(a\in\mathbb{R}\) выполнено \(2^{2a} = (2^a)^2\), то \(2^{2\cdot (2^x)} = \left(2^{(2^x)}\right)^2\), следовательно, уравнение примет вид \[t^2 - t - 2 = 0\]
Корни этого уравнения \(t_1 = -1\), \(t_2 = 2\), но \(t > 0\), следовательно, \(t_1\) – не подходит.
Так как \[2^a = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad a = 1\,,\] то \[2^{(2^x)} = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad (2^x) = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]
Ответ: 0
