Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Использование различных формул площадей многоугольников (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Треугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Произвольный выпуклый четырехугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Параллелограмм:


 

\(\blacktriangleright\) Ромб:


 

\(\blacktriangleright\) Прямоугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат:


 

\(\blacktriangleright\) Трапеция:

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(50\). Найдите площадь выпуклого четырехугольника \(A'B'C'D'\), вершины которого – середины сторон параллелограмма \(ABCD\).

Добавить задание в избранное



Рассмотрим рисунок. Проведем диагонали \(AC\) и \(BD\). Так как \(A', B'\) – середины \(AB\) и \(BC\), то \(A'B'\) – средняя линия \(\triangle ABC\). Следовательно, \(A'B'=0,5AC\). Аналогично \(C'D'=0,5AC\), \(A'D'=B'C'=0,5BD\). Следовательно, \(A'B'C'D'\) – параллелограмм по признаку.
Так как площадь параллелограмма равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними, то \[S_{ABCD}=0,5\cdot AC\cdot BD\cdot \sin\angle AOB\] Так как площадь параллелограмма также можно искать как произведение смежных сторон на синус угла между ними, то \[S_{A'B'C'D'}=A'D'\cdot A'B'\cdot \sin \angle B'A'D'\] Заметим, что \(\angle AOB=\angle B'A'D'\) как углы с попарно параллельными сторонами. Следовательно, \[S_{A'B'C'D'}=0,5BD\cdot 0,5AC\cdot \sin\angle AOB=0,5S_{ABCD}= 0,5\cdot 50=25\]

Ответ: 25