Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Использование различных формул площадей многоугольников (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Треугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Произвольный выпуклый четырехугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Параллелограмм:


 

\(\blacktriangleright\) Ромб:


 

\(\blacktriangleright\) Прямоугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат:


 

\(\blacktriangleright\) Трапеция:

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), \(\angle COD = \mathrm{arcsin}\, 0,85\), \(AC = 5\), \(BD = 4\). Найдите площадь \(ABCD\).

Добавить задание в избранное




 

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, тогда \(\sin{\angle COD} = \sin{(\mathrm{arcsin}\, 0,85)} = 0,85\), тогда \[S_{ABCD} = 0,5\cdot 0,85\cdot 5 \cdot 4 = 8,5.\]

Ответ: 8,5

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите площадь треугольника со сторонами \(6\), \(5\) и \(\sqrt{13}\).

Добавить задание в избранное

Применим формулу Герона для поиска площади треугольника:  

\(S=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-\sqrt{13}\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-5\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-6\right)}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+5-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+\sqrt{13}-5}2\cdot \dfrac{5+\sqrt{13}-6}2}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{11-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}+1}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}-1}2}=\dfrac14\cdot \sqrt{\left(11^2-(\sqrt{13})^2\right)\cdot \left((\sqrt{13})^2-1^2\right)}=\)  

\(=\dfrac14\cdot \sqrt{(121-13)(13-1)}=\dfrac14\cdot \sqrt{(4\cdot 3\cdot 9)\cdot (4\cdot 3)}=\dfrac14\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2=9\).

Ответ: 9

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите квадрат площади треугольника со сторонами \(7\), \(11\) и \(6\sqrt6\).

Добавить задание в избранное

По формуле Герона квадрат площади треугольника равен

 

\(S^2=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-6\sqrt6\right)\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-7\right) \cdot \left( \dfrac{7+11+6\sqrt6}2-11\right)=\)  

\(=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \dfrac{7+11-6\sqrt6}2\cdot \dfrac{11+6\sqrt6-7}2\cdot \dfrac{7+6\sqrt6-11}2=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot (18+6\sqrt6)(18-6\sqrt6)(6\sqrt6+4)(6\sqrt6-4)=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot 6^2\cdot (3+\sqrt6)(3-\sqrt6)\cdot ((6\sqrt6)^2-4^2)=\dfrac{6^2\cdot 3\cdot 200}{16}=1350\).

Ответ: 1350

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите площадь треугольника со сторонами \(22\), \(\sqrt{197}\) и \(\sqrt{65}\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим этот треугольник. Проведем высоту к стороне, равной \(22\):


 

Обозначим эту высоту за \(h\), а отрезки, на которые она разбила сторону, за \(x\) и \(22-x\). Запишем теорему Пифагора для двух получившихся прямоугольных треугольников:

 

\(\begin{cases} 197=h^2+(22-x)^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 197-65=(22-x)^2-x^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 132=(22-x-x)(22-x+x)\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=8\\ h=1 \end{cases}\)  

Таким образом, площадь этого треугольника равна

\[S=\dfrac12\cdot 1\cdot 22=11\]

Ответ: 11

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(OBH\) точка \(M\) делит сторону \(OB\) на отрезки \(OM = 4, MB = 28, \angle OHM = \angle OBH\). Найдите площадь треугольника \(OHM\), если \(\angle O = 45^\circ\).

Добавить задание в избранное



Треугольники \(OMH\) и \(OHB\) подобны по углам, т.к. \(\angle OHM = \angle OBH\), а \(\angle O\) - общий, тогда:  

\[\dfrac{OM}{OH} = \dfrac{OH}{OB}\Rightarrow OH^2 = OM\cdot OB\Rightarrow OH = 8\sqrt{2}.\]

\[S_{OHM} = 0,5\cdot 8\cdot \sqrt{2}\cdot 4\cdot \sin{45^\circ} = 16.\]

Ответ: 16

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\): \(AB = 6\), \(BC = 5\), \(\sin{\angle A} + \sin{\angle B} + \sin{\angle C} + \sin{\angle D} = 3,24\). Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\).

Добавить задание в избранное




 

В параллелограмме противоположные углы равны, а односторонние углы в сумме составляют \(180^{\circ}\).

Так как \(\sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha}\), то \(\sin{\angle A} + \sin{\angle B} + \sin{\angle C} + \sin{\angle D} = 4 \sin{\angle A}\), откуда находим \(\sin{\angle A} = 0,81\).

Площадь параллелограмма равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними, тогда \[S_{ABCD} = 6\cdot 5\cdot 0,81 = 24,3.\]

Ответ: 24,3

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В трапеции боковые стороны равны \(12\) и \(12\sqrt5\), угол при меньшей боковой стороне равен \(135^\circ\). Найдите отношение меньшего основания к большему, если площадь трапеции равна \(156\).
Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB=12, CD=12\sqrt5\), \(\angle A=45^\circ, \angle B=135^\circ\), и проведем в ней высоты \(BH\) и \(CK\). При этом трапеция может выглядеть двумя разными способами.

 

1 способ.


 

Заметим, что \(\triangle ABH\) – прямоугольный и равнобедренный, тогда \[BH=AH=\dfrac{AB}{\sqrt2}=\dfrac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\]

Значит, из прямоугольного \(\triangle DCK\) можно найти \(KD\):

\[KD^2=CD^2-CK^2=(12\sqrt5)^2-(6\sqrt2)^2=648 \quad \Rightarrow \quad KD=\sqrt{9\cdot 9\cdot 4 \cdot 2}=18\sqrt2\]

Т.к. площадь трапеции равна \(156\), то имеем следующее уравнение:

\[\dfrac{6\sqrt2+18\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2=156 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt2\]

Тогда \(BC:AD=(\sqrt2):(25\sqrt2)=1:25\).

 

2 способ.


 

В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим \(CK=DK=BH=6\sqrt2\), \(AH=18\sqrt2\), \(AD=18\sqrt2+x-6\sqrt2=12\sqrt2+x\).

 

Из уравнения \(156=\dfrac{12\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2\) находим \(x=7\sqrt2\).

 

Значит, \(BC:AD=(7\sqrt2):(19\sqrt2)=7:19\).

 

Т.к. \(\frac1{25}<\frac7{19}\), то в ответ пойдет \(\frac1{25}=0,04\).

Ответ: 0,04

1 2 3 4