Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB=12, CD=12\sqrt5\), \(\angle
A=45^\circ, \angle B=135^\circ\), и проведем в ней высоты \(BH\) и \(CK\). При этом трапеция может выглядеть двумя разными способами.
1 способ.
Заметим, что \(\triangle ABH\) – прямоугольный и равнобедренный, тогда \[BH=AH=\dfrac{AB}{\sqrt2}=\dfrac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\]
Значит, из прямоугольного \(\triangle DCK\) можно найти \(KD\):
\[KD^2=CD^2-CK^2=(12\sqrt5)^2-(6\sqrt2)^2=648 \quad
\Rightarrow \quad KD=\sqrt{9\cdot 9\cdot 4 \cdot 2}=18\sqrt2\]
Т.к. площадь трапеции равна \(156\), то имеем следующее уравнение:
\[\dfrac{6\sqrt2+18\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2=156 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt2\]
Тогда \(BC:AD=(\sqrt2):(25\sqrt2)=1:25\).
2 способ.
В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим \(CK=DK=BH=6\sqrt2\), \(AH=18\sqrt2\), \(AD=18\sqrt2+x-6\sqrt2=12\sqrt2+x\).
Из уравнения \(156=\dfrac{12\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2\) находим \(x=7\sqrt2\).
Значит, \(BC:AD=(7\sqrt2):(19\sqrt2)=7:19\).
Т.к. \(\frac1{25}<\frac7{19}\), то в ответ пойдет \(\frac1{25}=0,04\).
Ответ: 0,04