Задачи на теорию чисел (страница 2)

Рассмотрим набор любых \(2015\) чисел, так как их сумма четна, то среди них есть хотя бы одно четное число.

Действительно, если бы все из этих \(2015\) чисел были нечетными, то и сумма всех этих \(2015\) чисел была бы нечетной, что противоречит условию. Итак, мы нашли четное число.

Теперь рассмотрим сумму всех чисел без этого четного числа. Она тоже будет четной (по условию), так как помимо этого числа на доске ровно \(2015\) чисел.

Посчитать сумму всех \(2016\) чисел – это тоже самое что к найденному нами четному числу прибавить сумму остальных \(2015\) чисел, а так как четное \(+\) четное \(=\) четное получаем, что сумма всех чисел четна.

Ответ:

Четна

Докажем, что этого сделать нельзя, от противного: пусть составить такую таблицу можно. Заметим, что среди первых \(25\) простых чисел только одно четное число – это \(2\).

Сумма чисел в той строке в которой стоит \(2\) будет четной, так как всего в этой строке будет четыре нечетных числа и одно четное. Но тогда в любой строке, в которой нет \(2\), сумма чисел будет нечетной, так как в такой строке будут стоят пять нечетных чисел.

Следовательно суммы чисел в строке с \(2\) и в строке без \(2\) не могут быть равны. Значит мы получили противоречие, а значит наше предположение неверно и составить такую таблицу нельзя.

Ответ:

Нет

Докажем методом от противного. Предположим, что такое возможно, тогда между \(1\) и \(3\) нечётное число цифр (чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть две ситуации: когда \(3\) между \(1\) и \(2\), а также когда \(2\) между \(1\) и \(3\)).

Так как между \(1\) и \(3\) нечётное количество цифр и между \(3\) и \(4\) нечётное количество цифр, то аналогично между \(1\) и \(4\) нечётное количество цифр.

Аналогично доказывается, что тогда между \(1\) и любой цифрой должно быть нечётное количество цифр, но ведь у \(1\) должен быть хотя бы один сосед, следовательно, наше предположение неверно.

Ответ:

Нет