а) Решите уравнение \[2\sin \left(\dfrac{7\pi}2+x\right)\cdot \sin x=\sqrt3\cos x\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-7\pi;-6\pi]\).
(ЕГЭ 2013, досрочная волна)
а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{7\pi}2+x\right)=-\cos x\), следовательно, уравнение примет вид \[-2\cos x\cdot \sin x=\sqrt3\cos x \quad\Leftrightarrow\quad
\cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\cos x=0\\[2ex]
&\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого уравнения совокупности будут \(x=\dfrac{\pi}2+\pi
k, k\in\mathbb{Z}\).
Решением второго уравнения будут \(x=-\dfrac{\pi}3+2\pi n,
n\in\mathbb{Z}\) и \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\).
б) Отберем корни.
\(-7\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+\pi k\leqslant -6\pi
\quad\Leftrightarrow\quad -7,5\leqslant k\leqslant -6,5\). Так как \(k\) – целое, то подходит только \(k=-7\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{13\pi}2\).
\(-7\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant -6\pi
\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{10}3\leqslant n\leqslant
-\dfrac{17}6\). Так как \(n\) – целое, то подходит только \(n=-3\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{19\pi}3\).
\(-7\pi \leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant -6\pi
\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{19}6\leqslant m\leqslant
-\dfrac83\). Так как \(m\) – целое, то подходит только \(m=-3\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{20\pi}3\).
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}2+\pi k; \ -\dfrac{\pi}3+2\pi n; \ -\dfrac{2\pi}3+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{20\pi}3; \ -\dfrac{13\pi}2; \ -\dfrac{19\pi}3\)
