Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение уравнений в заданиях прошлых лет (страница 4)

Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Разложим левую часть на множители:

\[\begin{aligned} &\cos^2 x(2\cos x - 1) + 2\cos x - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0 \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} \cos^2 x + 1 = 0\\ \cos x = 0,5. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

У уравнения \(\cos^2 x + 1 = 0\) нет решений, так как \(\cos^2 x\geq 0\), следовательно, \(\cos^2 x + 1\geq 1 > 0\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = 0,5\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[2\pi\leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq\dfrac{7\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{5\pi}{3}\leq 2\pi k \leq\dfrac{19\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{5}{6}\leq k \leq\dfrac{19}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \dfrac{7\pi}{3}\).

\[2\pi\leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq\dfrac{7\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{7\pi}{3}\leq 2\pi k \leq\dfrac{23\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{7}{6}\leq k \leq\dfrac{23}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет решений, попадающих на отрезок \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]\).

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{7\pi}{3}\).

Задание 23
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \cos (2x) + \cos^2\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = 0,25. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Пользуясь формулой приведения \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x\), можно переписать исходное уравнение в виде:

\[\begin{aligned} \cos (2x) + (-\sin x)^2 = 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos (2x) + \sin^2 x = 0,25. \end{aligned}\]

Пользуясь формулой косинуса двойного угла, можно переписать последнее уравнение в виде:

\[\begin{aligned} &1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin^2 x - 0,75 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\sin x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Решения уравнения \(\sin x = a\) имеют вид: \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), тогда   решения уравнения \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-4\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{17\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{6} \leq k \leq -\dfrac{17}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = -2\): \(x = -\dfrac{11\pi}{3}\).

\[-4\pi \leq \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{14\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{19\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7}{3} \leq k \leq -\dfrac{19}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = -2\): \(x = -\dfrac{10\pi}{3}\).

\[-4\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{13\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{6} \leq k \leq -\dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет решений, принадлежащих отрезку \(\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]\).

\[-4\pi \leq \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{16\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{23\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{3} \leq k \leq -\dfrac{23}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = -2\): \(x = -\dfrac{8\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\), \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{3}\), \(-\dfrac{10\pi}{3}\), \(-\dfrac{8\pi}{3}\).

Задание 24
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\log^2_2{(2\sin x)}-7\log_2{(2\sin x)}+3=0.\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{\pi}2;2\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(2\sin x>0 \Rightarrow \sin x>0\).

 

Решим данное уравнение на ОДЗ. Сделаем замену \(\log_2{(2\sin x)}=t\). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2-7t+3=0 \Rightarrow t_1=3, \ t_2=\dfrac12\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} & \log_2{(2\sin x)}=3\\ & \log_2{(2\sin x)}=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered} \right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} & \sin x=4\\ & \sin x=\dfrac{\sqrt2}2 \end{aligned}\end{gathered} \right.\]

Первое уравнение не имеет решений, т.к. \(-1\leqslant \sin x\leqslant 1\). Второе уравнение имеет решения и удовлетворяет ОДЗ, следовательно, \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни, решив два неравенства:

\[\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant 2\pi \quad \text{и} \quad \dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{3\pi}4+2\pi m\leqslant 2\pi\]

Корень, принадлежащий отрезку \(\left[\dfrac{\pi}2;2\pi\right]\) — это \(x=\dfrac{3\pi}4\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n, \dfrac{3\pi}4+2\pi m, \ n, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{3\pi}4\)

Задание 25
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 8^x - 7\cdot 4^x - 2^{x + 4} + 112 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\log_2 5;\log_2 11\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Исходное уравнение можно переписать в виде

\[\begin{aligned} {(2^x)}^3 - 7\cdot {(2^x)}^2 - 16\cdot 2^x + 112 = 0. \end{aligned}\]

Данное уравнение – кубическое относительно \(2^x\). Сделаем замену \(2^x = t\):

\[\begin{aligned} t^3 - 7\cdot t^2 - 16\cdot t + 112 = 0. \end{aligned}\]

Последнее уравнение можно разложить на множители:

\[\begin{aligned} &t^2(t - 7) - 16(t - 7) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 - 16)(t - 7) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 4)(t + 4)(t - 7) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} t = 4\\ t = -4\\ t = 7. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Уравнение \(t = 4\) в старых переменных примет вид \(2^x = 4\). Его решения: \(x = 2\).

 

Уравнение \(t = -4\) в старых переменных примет вид \(2^x = -4\). У него нет решений, так как \(2^x > 0\).

 

Уравнение \(t = 7\) в старых переменных примет вид \(2^x = 7\). Его решения: \(x = \log_2 7\).

 

б) \[2 = \log_2 4 < \log_2 5,\] следовательно, \(x = 2\) не принадлежит отрезку \(\left[\log_2 5;\log_2 11\right]\).

\[\log_2 5 < \log_2 7 < \log_2 11,\] следовательно, \(x = \log_3 5\) принадлежит отрезку \(\left[\log_2 5;\log_2 11\right]\).

Ответ:

а) \(2\), \(\log_2 7\).

б) \(\log_2 7\).

Задание 26
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 27^x - 5\cdot 9^x - 3^{x + 2} + 45 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\log_3 4;\log_3 10\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Исходное уравнение можно переписать в виде

\[\begin{aligned} {(3^x)}^3 - 5\cdot {(3^x)}^2 - 9\cdot 3^x + 45 = 0. \end{aligned}\]

Данное уравнение – кубическое относительно \(3^x\). Сделаем замену \(3^x = t\):

\[\begin{aligned} t^3 - 5\cdot t^2 - 9\cdot t + 45 = 0. \end{aligned}\]

Последнее уравнение можно разложить на множители:

\[\begin{aligned} &t^2(t - 5) - 9(t - 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 - 9)(t - 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 3)(t + 3)(t - 5) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} t = 3\\ t = -3\\ t = 5. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Уравнение \(t = 3\) в старых переменных примет вид \(3^x = 3\). Его решения: \(x = 1\).

 

Уравнение \(t = -3\) в старых переменных примет вид \(3^x = -3\). У него нет решений, так как \(3^x > 0\).

 

Уравнение \(t = 5\) в старых переменных примет вид \(3^x = 5\). Его решения: \(x = \log_3 5\).

 

б) \[1 = \log_3 3 < \log_3 4,\] следовательно, \(x = 1\) не принадлежит отрезку \(\left[\log_3 4;\log_3 10\right]\).

\[\log_3 4 < \log_3 5 < \log_3 10,\] следовательно, \(x = \log_3 5\) принадлежит отрезку \(\left[\log_3 4;\log_3 10\right]\).

Ответ:

а) \(1\), \(\log_3 5\).

б) \(\log_3 5\).

1 .... 3 4