Решение уравнений в заданиях прошлых лет (страница 4)

а) Данное уравнение равносильно \[(9^{-2})^{\cos x}=9^{2\sin 2x}\quad\Leftrightarrow\quad 9^{-2\cos x}=9^{2\sin 2x}\quad \Leftrightarrow\quad -2\cos x=2\sin 2x\] По формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно, \[4\sin x\cos x+2\cos x=0 \quad \Leftrightarrow\quad \cos x(2\sin x+1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\cos x=0\\[1ex] &\sin x=-\dfrac 12 \end{aligned}\end{gathered} \right.\]

Первое уравнение совокупности имеет решения \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\), а второе — решения \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi m\) и \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi k, \quad m,k\in\mathbb{Z}\).

б) Отберем корни.

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 52\leqslant n\leqslant -1\quad\Rightarrow\quad n=-2; \ -1 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{3\pi}2; \ -\dfrac{\pi}2.\)

\(-2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi m\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac 16\quad\Rightarrow\quad m\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

\(-2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac7{12}\leqslant k\leqslant \dfrac16\quad\Rightarrow\quad k=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{5\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n;\quad -\dfrac{\pi}6+2\pi m; \quad -\dfrac{5\pi}6+2\pi k, \quad n,m,k\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{5\pi}6; \ -\dfrac{3\pi}2; \ -\dfrac{\pi}2\)

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Разложим левую часть на множители: \[\begin{aligned} &\cos^2 x(2\cos x - 1) + 2\cos x - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0 \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} \cos^2 x + 1 = 0\\ \cos x = 0,5. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

У уравнения \(\cos^2 x + 1 = 0\) нет решений, так как \(\cos^2 x\geq 0\), следовательно, \(\cos^2 x + 1\geq 1 > 0\).

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = 0,5\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \[2\pi\leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq\dfrac{7\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{5\pi}{3}\leq 2\pi k \leq\dfrac{19\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{5}{6}\leq k \leq\dfrac{19}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \dfrac{7\pi}{3}\).

\[2\pi\leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq\dfrac{7\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow \qquad \dfrac{7\pi}{3}\leq 2\pi k \leq\dfrac{23\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow \qquad \dfrac{7}{6}\leq k \leq\dfrac{23}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет решений, попадающих на отрезок \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]\).

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{7\pi}{3}\).

а) Выпишем ОДЗ данного уравнения: \[\begin{cases} 2-x>0\\ x^4>0\end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0)\cup(0;2).\] Решим уравнение на ОДЗ.
Так как по свойству (на найденном ОДЗ) логарифма \(\log_{25}{x^4}=\log_{5^2}{(x^2)^2}=\log_{|5|}{|x^2|}=\log_5{x^2}\), то данное уравнение равносильно на ОДЗ \[\log_5(2-x)=\log_5{x^2} \quad \Rightarrow\quad 2-x=x^2\quad \Leftrightarrow\quad x=-2\quad{\small{\text{и}}}\quad x=1.\] Заметим, что оба корня подходят под ОДЗ.

б) Отберем корни.

Неравенство \(\log_9{\dfrac1{82}}\leqslant -2\leqslant \log_98\) равносильно \(\log_9{\dfrac1{82}}\leqslant \log_9{9^{-2}}\leqslant \log_98\), что в свою очередь равносильно \(\dfrac1{82}\leqslant \dfrac1{81}\leqslant 8\) (так как основание логарифмов \(9>1\)).

Данное неравенство является верным, следовательно, корень \(x=-2\) входит в данный отрезок \(\left[\log_9\dfrac1{82};\log_98\right].\)

Аналогично можем определить, что корень \(x=1\) не входит в данный отрезок \(\left[\log_9\dfrac1{82};\log_98\right].\)

Ответ:

а) \(-2; \ 1\)  

б) \(-2\)

а) Перепишем данное уравнение в виде: \[3\cdot 9^x\cdot \dfrac1{9^{0,5}}-7\cdot (2\cdot 3)^x+3\cdot 4^x\cdot 4^1=0 \quad\Leftrightarrow\quad 3\cdot \dfrac{9^x}3 -7\cdot 2^x\cdot 3^x+12\cdot 4^x=0\quad \Leftrightarrow\quad 3^{2x}-7\cdot 2^x\cdot 3^x+12\cdot 2^{2x}=0\] Данное уравнение является однородным второй степени (подробнее вы можете ознакомиться с этим в нашем разделе “Теоретическая справка” \(\rightarrow\)“Решение уравнений. Часть I” \(\rightarrow\) “Рациональные уравнения. Некоторые известные типы уравнений”). Разделим обе части уравнения на неравное нулю \(2^{2x}\): \[\dfrac{3^{2x}}{2^{2x}}-7\cdot \dfrac{3^x}{2^x}+12=0 \quad \Leftrightarrow\quad \left(\dfrac 32\right)^{2x}-7\cdot \left(\dfrac 32\right)^x+12=0\] Сделаем замену \(t=\left(\dfrac 32\right)^x\), тогда уравнение сведется к квадратному: \[t^2-7t+12=0 \quad\Rightarrow\quad t_1=3\quad{\small{\text{и}}}\quad t_2=4.\] Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &\left(\dfrac32\right)^x=3 \quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac32\right)^x=\left(\dfrac 32\right)^{\log_{\frac32}3}\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_{\frac32}3.\\[2ex] &\left(\dfrac32\right)^x=4\quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac32\right)^x=\left(\dfrac32\right)^{\log_{\frac32}4}\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_{\frac32}4 \end{aligned}\]

б) Заметим, что \(2\leqslant \log_{\frac32}3\leqslant 3\) равносильно \(\dfrac94\leqslant 3\leqslant \dfrac{27}8\) (так как основание логарифма \(\frac32>1\)). Данное неравенство является верным, следовательно, корень \(x=\log_{\frac32}3\) принадлежит данному отрезку \([2;3]\).

Аналогично неравенство \(2\leqslant \log_{\frac32}4\leqslant 3\) равносильно \(\dfrac94\leqslant 4\leqslant \dfrac{27}8\), что неверно, следовательно, корень \(x=\log_{\frac32}4\) не принадлежит данному отрезку \([2;3]\).

Ответ:

а) \(\log_{\frac32}3; \quad \log_{\frac32}4\)  

б) \(\log_{\frac32}3\)

а) Сделаем замену \(\dfrac1{\sin x}=t\), тогда уравнение примет вид \[t^2-3t+2=0\quad \Rightarrow\quad t_1=2 \quad{\small{\text{и}}}\quad t_2=1\] Сделав обратную замену, получим \[\sin x=\dfrac 12 \quad{\small{\text{и}}}\quad \sin x=1\] Решениями данных уравнений являются \[x=\dfrac{\pi}6+2\pi n; \quad x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m \quad{\small{\text{и}}}\quad x=\dfrac{\pi}2+2\pi k; \quad n,m,k\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac43\leqslant n \leqslant -\dfrac 7{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}6.\)

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant m \leqslant -\dfrac {11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}6.\)

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 32\leqslant k\leqslant -\dfrac 34\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac{3\pi}2.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n; \quad \dfrac{5\pi}6+2\pi m; \quad\dfrac{\pi}2+2\pi k; \quad n,m,k\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{11\pi}6; \ -\dfrac{3\pi}2; \ -\dfrac{7\pi}6\)

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{3\pi}2-\dfrac x2\right)=-\cos \dfrac x2\). Сделаем замену \(t=\dfrac x2\), тогда уравнение примет вид \[\cos 2t-\sqrt3\cos t+1=0\] По формуле косинуса двойного угла \(\cos 2t=2\cos^2t-1\), следовательно, \[2\cos^2t-\sqrt3\cos t=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t(2\cos t-\sqrt3)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t=0 \quad{\small{\text{или}}}\quad \cos t=\dfrac{\sqrt3}2.\] Решениям данных уравнений являются \[t=\dfrac{\pi}2+\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad t=\pm\dfrac{\pi}6+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\] Сделаем обратную замену и получим ответ: \[x=\pi+2\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad x=\pm\dfrac{\pi}3+4\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

\(-4\pi \leqslant \pi +2\pi n\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 52\leqslant n\leqslant -\dfrac 74\quad\Rightarrow\quad n=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-3\pi.\)

\(-4\pi\leqslant \dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{17}{24} \quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}3.\)

\(-4\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{13}{24}\quad\Rightarrow\quad m\in \varnothing \quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

Ответ:

а) \(\pi+2\pi n; \quad \pm\dfrac{\pi}3+4\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{11\pi}3; \ -3\pi\)

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{3\pi}2+x\right)=\sin x\), по формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно, уравнение примет вид \[2\sqrt3\sin^2x-2\sin x\cos x=0 \quad \Leftrightarrow\quad 2\sin x(\sqrt3\sin x-\cos x)=0 \quad \Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\ &\sqrt3\sin x-\cos x=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого уравнения совокупности являются \(x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

Второе уравнение является однородным первой степени (подробнее вы можете ознакомиться с этим в нашем разделе “Теоретическая справка” \(\rightarrow\) “Решение уравнений. Часть II” \(\rightarrow\) “Основные виды тригонометрических уравнений”) и решается делением обеих частей, например, на \(\sin x\): \[\sqrt3-\mathrm{ctg}\,x=0\quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}6+\pi m, m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

\(1,5\pi\leqslant \pi n\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad 1,5\leqslant n\leqslant 3\quad\Rightarrow\quad n=2; \ 3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; \ 3\pi.\)

\(1,5\pi\leqslant \dfrac{\pi}6+\pi m\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant m\leqslant \dfrac{17}6\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\pi n; \quad \dfrac{\pi}6+\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(2\pi; \ \dfrac{13\pi}6; \ 3\pi\)