Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения (страница 2)

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]  

\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]  

\(\bullet\) Основные формулы приведения:

\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]  

\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]

Задание 8 #444
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{4\pi}{3} x\biggr)} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{4\pi}{3} x = \pm \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm \dfrac{1}{8} + 1,5n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -\dfrac{1}{8} = -0,125\) при \(n = 0\).

Ответ: -0,125

Задание 9 #445
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi}{3} x\biggr)} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{3} x_1 = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad \dfrac{\pi}{3} x_2 = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x_1 = -1 + 6 n, n \in \mathbb{Z}\), \(x_2 = 4 + 6 n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -1\).

Ответ: -1

Задание 10 #2789
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \[\cos \dfrac x2=-1\]

В ответе укажите произведение наибольших двух отрицательных корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно \[\dfrac x2=\pi+2\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+4\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[2\pi+4\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac12\quad\Rightarrow\] последние два отрицательных корня получаются при \(n=-2; \ -1\) и это \(x=-6\pi; \ -2\pi\). Следовательно, их произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \(12\pi^2\div \pi^2=12.\)

Ответ: 12

Задание 11 #451
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{2} x\biggr)} = 1.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{2} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{2} x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,5 + 2n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -1,5\) при \(n = -1\).

Ответ: -1,5

Задание 12 #2788
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \[\cos x=-1\]

В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно \[x=-\pi+2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[-\pi+2\pi n>0 \quad\Leftrightarrow\quad n>\dfrac12\quad\Rightarrow\] первые три положительных корня получаются при \(n=1; \ 2; \ 3\) и это \(x=\pi; \ 3\pi; \ 5\pi\). Следовательно, их сумма, деленная на \(\pi\), равна \(9\pi\div\pi=9.\)

Ответ: 9

Задание 13 #2787
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \[\cos x=\dfrac12\]

В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения.

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно серии корней \[x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n\quad {\small{\text{и}}}\quad x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, \qquad n, m\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенства: \[\begin{aligned} \dfrac{\pi}3+2\pi n>0\quad&\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac16\\[2ex] -\dfrac{\pi}3+2\pi m>0\quad&\Leftrightarrow\quad m>\dfrac16 \end{aligned}\] Следовательно, наименьшее подходящее целое \(n\) — это \(n=0\), при котором получается \(x=\dfrac{\pi}3\); наименьшее подходящее целое \(m\) – это \(m=1\), при котором получается \(x=\dfrac{5\pi}3\). Очевидно, что \(\dfrac{\pi}3<\dfrac{5\pi}3\).

 

Аналогично найдем наибольший отрицательный корень (он будет получаться из второй серии корней при \(m=0\)): \(x=-\dfrac{\pi}3\).

 

Тогда сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней равна \(-\dfrac{\pi}3+\dfrac{\pi}3=0\).

Ответ: 0

Задание 14 #452
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{6} x\biggr)} = \sqrt{3}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{6} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{6} x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 2 + 6n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 2\).

Ответ: 2

1 2 3 .... 5