Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения (страница 3)

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]  

\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]  

\(\bullet\) Основные формулы приведения:

\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]  

\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]

Задание 15 #453
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}\, (2\pi x) = 1.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

ОДЗ: \(2\pi x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[2\pi x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,125 + 0,5n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,125\).

Ответ: 0,125

Задание 16 #454
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}{\biggl(\dfrac{\pi}{3} x\biggr)} = \sqrt{3}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{3} x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{3} x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,5 + 3n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 17 #460
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi}{3} x + \pi \biggr)} = -\dfrac{1}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из его положительных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{3} x_1 + \pi = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\dfrac{\pi}{3} x_2 + \pi = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = -\dfrac{7}{2} + 6 n, n \in \mathbb{Z},\qquad x_2 = \dfrac{1}{2} + 6 n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 18 #461
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\cos\biggl(\pi\biggl(\dfrac{1}{12}x + 5\biggr)\biggr) = \dfrac{1}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\pi\biggl(\dfrac{1}{12}x + 5\biggr) = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\Leftrightarrow\qquad \biggl(\dfrac{1}{12}x + 5\biggr) = \pm \dfrac{1}{3} + 2 n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = -60 \pm 4 + 24n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ и среди них наибольший отрицательный \(x = -8\) при \(n = 2\).

Ответ: -8

Задание 19 #462
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sin\biggl(\pi\biggl(2 - \dfrac{1}{3}x\biggr)\biggr) = \dfrac{1}{2}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его не отрицательных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\pi\biggl(2 - \dfrac{1}{3}x_1\biggr) = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\qquad \pi\biggl(2 - \dfrac{1}{3}x_2\biggr) = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[2 - \dfrac{1}{3}x_1 = \dfrac{1}{6} + 2 n, n \in \mathbb{Z},\qquad 2 - \dfrac{1}{3}x_2 = 1 - \dfrac{1}{6} + 2 n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = \dfrac{11}{2} - 6 n, n \in \mathbb{Z}, \qquad x_2 = \dfrac{7}{2} - 6 n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Наименьший не отрицательный корень исходного уравнения \(x = 3,5\).

Ответ: 3,5

Задание 20 #446
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi}{5} x\biggr)} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{5} x = \pm \dfrac{2\pi}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 2 + 10n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -2\) при \(n = 0\).

Ответ: -2

Задание 21 #447
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi}{3} x\biggr)} = \sin{\biggl(\dfrac{0,25\pi}{3}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его не отрицательных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{3} x_1 = \dfrac{0,25\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\qquad\dfrac{\pi}{3} x_2 = \pi - \dfrac{0,25\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x_1 = 0,25 + 6 n, n \in \mathbb{Z}\), \(x_2 = 2,75 + 6 n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший не отрицательный \(x = 0,25\).

Ответ: 0,25