Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Рациональные уравнения (страница 3)

Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены.

 

I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение

\[\large{ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0\\ Q(x)\ne 0 \end{cases} }\]

II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, \({\color{blue}{\text{на общей ОДЗ функций }P(x) \text{ и } Q(x)}}\) уравнение

\[\large{P(x)\cdot Q(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &P(x)=0\\ &Q(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.}\]

Задание 15 #350
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1 - 2x}{\dfrac{2}{3} + x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{2}{3}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right)}{\dfrac{2}{3} + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \[1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2\dfrac{2}{3}x - 1 = 0.\] Дискриминант данного уравнения \[D = \dfrac{64}{9} + 4 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = \dfrac{1}{3}, \ x_2 = -3\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -3\) – наименьший корень.

Ответ: -3

Задание 16 #352
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7x + 2}{5 - 3x} = -8x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x)}{5 - 3x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x) = 0\), что равносильно \(24x^2 - 47x - 2 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \[D = 2209 + 192 = 2401 = 49^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 2, \ x_2 = -\dfrac{1}{24}\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 2\) – наибольший корень.

Ответ: 2

Задание 17 #353
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{x + 2}{7 - x} = 0,5x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 7\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{x + 2 - 3,5x + 0,5x^2}{7 - x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x + 2 - 3,5x + 0,5x^2 = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \[D = 25 - 16 = 9 = 3^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 4, \ x_2 = 1\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 4\) – наибольший корень.

Ответ: 4

Задание 18 #354
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7,5 - x}{x - 13} = -0,25x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите модуль их разности.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 13\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x}{x - 13} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x = 0\), что равносильно \(x^2 - 17x + 30 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \[D = 289 - 120 = 169 = 13^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 15, \ x_2 = 2\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(|15 - 2| = 13\).

Ответ: 13

Задание 19 #361
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{x - 3}{2x + 5} = \dfrac{x - 3}{5x + 2}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x + 5 \neq 0\) и \(5x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5)}{(2x + 5)(5x + 2)} = 0\]. Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((x - 3)(5x + 2) - (x - 3)(2x + 5) = 0\), что равносильно \((x - 3)(5x + 2 - 2x - 5) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = 3, \ x_2 = 1\) – подходят по ОДЗ. Итого: больший из корней \(x = 3\).

Ответ: 3

Задание 20 #362
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{2x + 73}{3x - 18} = \dfrac{2x + 73}{18x - 3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x - 18 \neq 0\) и \(18x - 3 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{(2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18)}{(3x - 18)(18x - 3)} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \((2x + 73)(18x - 3) - (2x + 73)(3x - 18) = 0\), что равносильно \((2x + 73)(18x - 3 - 3x + 18) = 0\).

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл, тогда \(x_1 = -36,5, \ x_2 = -1\) – подходят по ОДЗ. Итого: меньший из корней \(x = -36,5\).

Ответ: -36,5