Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Прямая и правильная призмы» (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Тогда:

 

1) боковые грани представляют собой прямоугольники;

2) боковое ребро является высотой призмы.

 

\(\blacktriangleright\) Призма называется правильной, если она прямая и ее основания – правильные многоугольники.
Тогда:

боковые грани представляют собой равные прямоугольники.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана прямая призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), в основании которой лежит равнобедренная трапеция \(ABCD\), у которой \(AB=BC=CD\), а острый угол при основании \(AD\) равен \(60^\circ\). Пусть \(O\) – точка пересечения продолжений боковых сторон основания призмы. Найдите, отношение объема призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) к объему прямой призмы, основанием которой является треугольник \(AOD\), если эти призмы имеют равные высоты.

Добавить задание в избранное



Из условия следует, что нужно найти \[\dfrac{V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}}{V_{AODA_1O_1D_1}}\] Так как \(AD\parallel BC\) и трапеция равнобедренная, то \(\angle OBC=\angle OCB=\angle OAD=60^\circ\). Следовательно, \(\triangle OBC\) равнобедренный с углом при основании \(60^\circ\), значит, равносторонний. Значит, \(OB=OC=BC=AB=CD\). Также \(\triangle OBC\sim\triangle OAD\), причем коэффициент подобия равен \(\frac12\). Следовательно, \(S_{OBC}=\frac14S_{OAD}\). Тогда \(S_{ABCD}=\frac34S_{OAD}\). Значит \[\dfrac{V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}}{V_{AODA_1O_1D_1}}= \dfrac{AA_1\cdot S_{ABCD}}{AA_1\cdot S_{OAD}}=\dfrac34=0,75.\]

Ответ: 0,75

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна \(4\sqrt2\) и составляет с плоскостью боковой грани угол \(30^\circ\). Найдите объем призмы.

Добавить задание в избранное



Так как призма правильная, то она является прямой, а в основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.
Пусть \(A_1C=4\sqrt2\). Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Так как призма правильная, то \(ABCD\) – квадрат и все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, \(CD\perp AD\) и \(CD\perp DD_1\), следовательно, по признаку \(CD\perp AA_1D_1D\). Следовательно, \(A_1D\) – проекция \(AC\) на грань \(AA_1D_1D\). Следовательно, \(\angle CA_1D=30^\circ\).
\(\triangle CA_1D\) прямоугольный, \(CD=\frac12A_1C=2\sqrt2\) как катет, лежащий против угла \(30^\circ\). Тогда \(A_1D^2=A_1C^2-CD^2=24\). Следовательно, по теореме Пифагора из прямоугольного \(\triangle A_1AD\) (\(AD=CD\)): \[AA_1=\sqrt{A_1D^2-AD^2}=4.\] Следовательно, объем призмы равен \[V=AD^2\cdot AA_1=32.\]

Ответ: 32

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана прямая призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция \(ABCD\) с боковой стороной \(AD\), равной \(4\). Боковое ребро призмы равно \(12\). Отрезок \(B_1H\) перпендикулярен прямой \(CD\) и равен \(4\sqrt{13}\), причем \(H\) лежит на прямой \(CD\). Найдите объем призмы.

Добавить задание в избранное



По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная \(B_1H\) перпендикулярна \(CD\), то и ее проекция \(BH\) перпендикулярна \(CD\). Так как \(AD\) – боковая сторона трапеции, то ее основания – это \(AB\) и \(CD\). Следовательно, \(BH\) по определению является высотой трапеции.
Заметим, что \(\triangle BB_1H\) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \[BH=\sqrt{B_1H^2-BB_1^2}=\sqrt{(4\sqrt{13})^2-12^2}=8.\] Так как трапеция является описанной, то суммы ее противоположных сторон равны, следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон, значит, \(AB+CD=AD+BC=4+4=8.\) Значит, площадь трапеции равна \[S_{ABCD}=\dfrac{AB+CD}2\cdot BH=32.\] Тогда объем призмы равен \[V=32\cdot 12=384.\]

Ответ: 384

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCA_1B_1C_1\) – прямая треугольная призма с основаниями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), причем \(\angle A_1C_1B_1 = 90^{\circ}\). Точки \(M\) и \(N\) середины рёбер \(AA_1\) и \(CC_1\) соответственно. Найдите угол между плоскостями \((MNB)\) и \((ABC)\), если \(AB = 5\), \(AC = 3\), \(AA_1 = \sqrt{128} - 8\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

Прямая \(l\), параллельная \(AC\) и проходящая через точку \(B\), параллельна и \(MN\) (так как \(MN\parallel AC\)). Таким образом, \(l\) лежит в плоскости \((ABC)\) и в плоскости \((MNB)\).

При этом \(CB\) перпендикулярен \(AC\), следовательно, \(CB\) перпендикулярен \(l\). По теореме о трёх перпендикулярах \(NB\) также перпендикулярен \(l\), тогда искомый угол равен \(\angle NBC\).

По теореме Пифагора в треугольнике \(ABC\): \(BC = 4\), \[NC = \dfrac{1}{2}CC_1 = \dfrac{1}{2}AA_1 = \dfrac{1}{2}(\sqrt{128} - 8) = \dfrac{1}{2}(8\sqrt{2} - 8) = 4\sqrt{2} - 4,\] тогда \[\mathrm{tg}\, \angle NBC = \dfrac{4\sqrt{2} - 4}{4} = \sqrt{2} - 1\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{tg}\, (2\angle NBC) = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \angle NBC}{1 - \mathrm{tg}^2\, \angle NBC} = \dfrac{2\sqrt{2} - 2}{1 - (\sqrt{2} - 1)^2} = \dfrac{2\sqrt{2} - 2}{2\sqrt{2} - 2} = 1,\] то есть \(2\angle NBC = 45^{\circ}\), откуда \(\angle NBC = 22,5^{\circ}\).

Ответ: 22,5