Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии (страница 2)

Внешний угол многоугольника – угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.


 

\[\large{\begin{aligned} &\sin \alpha_{\text{внеш}}=\sin \alpha \qquad \qquad \qquad \cos \alpha_{\text{внеш}}=-\cos \alpha\\ &\\ &\mathrm{tg}\, \alpha_{\text{внеш}}=-\, \mathrm{tg}\,\alpha \qquad \qquad \qquad \, \mathrm{ctg}\, \alpha_{\text{внеш}}= -\, \mathrm{ctg}\,\alpha \end{aligned}}\]

Замечание: Синус и острого, и тупого угла – положительное число. Косинус, тангенс и котангенс острого угла – положительное число, а тупого угла – отрицательное число.
(острый угол: \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), тупой угол: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\))

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(\sin{\angle A} = 0,96\). Найдите синус внешнего угла при вершине \(B\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \(AB = BC\), то \(\angle A = \angle C\). Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним, тогда внешний угол при вершине \(B\) равен \(2\cdot \angle A\), а его синус равен \(\sin{(2\cdot\angle A)}\).

\[\sin{(2\cdot\angle A)} = 2\sin{\angle A}\cdot \cos{\angle A}.\] При помощи основного тригонометрического тождества находим \(\cos{\angle A} = \pm 0,28\), но в равнобедренном треугольнике угол при основании всегда острый, тогда \(\cos{\angle A} = 0,28\), следовательно, \(\sin{(2\cdot\angle A)} = 2\sin{\angle A}\cdot \cos{\angle A} = 2\cdot 0,96 \cdot 0,28 = 0,5376\).

Ответ: 0,5376

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

К каждому углу трапеции \(ABCD\) построено по одному внешнему углу. Найдите сумму косинусов этих внешних углов.

Добавить задание в избранное




 

Пусть \(AD\parallel BC\), внешние углы построены как на рисунке (при каждой вершине может быть два внешних угла, но их градусные меры совпадают, а значит, и косинусы этих углов равны и ответ не зависит от выбора угла при каждой вершине).

Сумма внешних углов при вершинах \(A\) и \(B\) равна \(180^{\circ}\) (так как внешний угол при вершине \(A\) и \(\angle ABC\) равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).

Аналогично сумма внешних углов при вершинах \(C\) и \(D\) равна \(180^{\circ}\).

\[\cos{(180^{\circ} - \alpha)} = -\cos{\alpha} \qquad\Rightarrow\qquad \cos{(180^{\circ} - \alpha)} + \cos{\alpha} = 0,\] следовательно, сумма косинусов внешних углов при вершинах \(A\) и \(B\) равна 0;

аналогично сумма косинусов внешних углов при вершинах \(C\) и \(D\) равна 0. Таким образом, сумма косинусов внешних углов равна 0.

Ответ: 0

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан выпуклый пятиугольник \(ANGEL\), причем известно, что \(\sin \angle NAE=\frac12=\cos \angle LAE\). Найдите синус внешнего угла при вершине \(A\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. \(\cos \angle LAE=\frac12 \quad \Rightarrow \quad \angle LAE=60^\circ\). Т.к. \(\sin \angle NAE=\frac12\), то \(\angle NAE\) равен либо \(30^\circ\), либо \(150^\circ\). Но пятиугольник выпуклый, а это значит, что все его внутренние углы меньше \(180^\circ\), следовательно, \(\angle NAE=30^\circ\) и весь \(\angle A=30^\circ +60^\circ=90^\circ\) (иначе весь \(\angle A\) был бы равен \(60^\circ +150^\circ >180^\circ\)).

 

Значит, и внешний угол при вершине \(A\) равен \(90^\circ\), а его синус таким образом равен \(1\).

Ответ: 1

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(DOG\) косинус угла между стороной \(OG\) и высотой к стороне \(OD\) равен \(0,6\). Найдите синус внешнего угла треугольника при вершине \(O\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. синусы смежных углов равны, то \(\sin \angle O_{\text{внеш}}=\sin \angle O\). Рассмотрим два случая: когда \(\angle O\) – острый и когда тупой. Пусть \(GK\) — та самая высота из условия.

 

В первом случае из прямоугольного треугольника \(OGK\) \[\cos \angle OGK=\sin \angle O \quad \Rightarrow \quad \sin \angle O_{\text{внеш}}=\cos \angle OGK=0,6\]

Во втором случае из прямоугольного треугольника \(OGK\) \[\cos \angle OGK=\sin \angle O_{\text{внеш}} \quad \Rightarrow \quad \sin \angle O_{\text{внеш}}=0,6.\]

Ответ: 0,6