Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии (страница 2)

Внешний угол многоугольника – угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.


 

\[\large{\begin{aligned} &\sin \alpha_{\text{внеш}}=\sin \alpha \qquad \qquad \qquad \cos \alpha_{\text{внеш}}=-\cos \alpha\\ &\\ &\mathrm{tg}\, \alpha_{\text{внеш}}=-\, \mathrm{tg}\,\alpha \qquad \qquad \qquad \, \mathrm{ctg}\, \alpha_{\text{внеш}}= -\, \mathrm{ctg}\,\alpha \end{aligned}}\]

Замечание: Синус и острого, и тупого угла – положительное число. Косинус, тангенс и котангенс острого угла – положительное число, а тупого угла – отрицательное число.
(острый угол: \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), тупой угол: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\))

Задание 8 #620
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(\sin{\angle A} = 0,96\). Найдите синус внешнего угла при вершине \(B\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \(AB = BC\), то \(\angle A = \angle C\). Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним, тогда внешний угол при вершине \(B\) равен \(2\cdot \angle A\), а его синус равен \(\sin{(2\cdot\angle A)}\).

\[\sin{(2\cdot\angle A)} = 2\sin{\angle A}\cdot \cos{\angle A}.\] При помощи основного тригонометрического тождества находим \(\cos{\angle A} = \pm 0,28\), но в равнобедренном треугольнике угол при основании всегда острый, тогда \(\cos{\angle A} = 0,28\), следовательно, \(\sin{(2\cdot\angle A)} = 2\sin{\angle A}\cdot \cos{\angle A} = 2\cdot 0,96 \cdot 0,28 = 0,5376\).

Ответ: 0,5376

Задание 9 #621
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

К каждому углу трапеции \(ABCD\) построено по одному внешнему углу. Найдите сумму косинусов этих внешних углов.

Добавить задание в избранное




 

Пусть \(AD\parallel BC\), внешние углы построены как на рисунке (при каждой вершине может быть два внешних угла, но их градусные меры совпадают, а значит, и косинусы этих углов равны и ответ не зависит от выбора угла при каждой вершине).

Сумма внешних углов при вершинах \(A\) и \(B\) равна \(180^{\circ}\) (так как внешний угол при вершине \(A\) и \(\angle ABC\) равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).

Аналогично сумма внешних углов при вершинах \(C\) и \(D\) равна \(180^{\circ}\).

\[\cos{(180^{\circ} - \alpha)} = -\cos{\alpha} \qquad\Rightarrow\qquad \cos{(180^{\circ} - \alpha)} + \cos{\alpha} = 0,\] следовательно, сумма косинусов внешних углов при вершинах \(A\) и \(B\) равна 0;

аналогично сумма косинусов внешних углов при вершинах \(C\) и \(D\) равна 0. Таким образом, сумма косинусов внешних углов равна 0.

Ответ: 0

Задание 10 #2112
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан выпуклый пятиугольник \(ANGEL\), причем известно, что \(\sin \angle NAE=\frac12=\cos \angle LAE\). Найдите синус внешнего угла при вершине \(A\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. \(\cos \angle LAE=\frac12 \quad \Rightarrow \quad \angle LAE=60^\circ\). Т.к. \(\sin \angle NAE=\frac12\), то \(\angle NAE\) равен либо \(30^\circ\), либо \(150^\circ\). Но пятиугольник выпуклый, а это значит, что все его внутренние углы меньше \(180^\circ\), следовательно, \(\angle NAE=30^\circ\) и весь \(\angle A=30^\circ +60^\circ=90^\circ\) (иначе весь \(\angle A\) был бы равен \(60^\circ +150^\circ >180^\circ\)).

 

Значит, и внешний угол при вершине \(A\) равен \(90^\circ\), а его синус таким образом равен \(1\).

Ответ: 1

Задание 11 #2110
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(DOG\) косинус угла между стороной \(OG\) и высотой к стороне \(OD\) равен \(0,6\). Найдите синус внешнего угла треугольника при вершине \(O\).

Добавить задание в избранное


 

Т.к. синусы смежных углов равны, то \(\sin \angle O_{\text{внеш}}=\sin \angle O\). Рассмотрим два случая: когда \(\angle O\) – острый и когда тупой. Пусть \(GK\) — та самая высота из условия.

 

В первом случае из прямоугольного треугольника \(OGK\) \[\cos \angle OGK=\sin \angle O \quad \Rightarrow \quad \sin \angle O_{\text{внеш}}=\cos \angle OGK=0,6\]

Во втором случае из прямоугольного треугольника \(OGK\) \[\cos \angle OGK=\sin \angle O_{\text{внеш}} \quad \Rightarrow \quad \sin \angle O_{\text{внеш}}=0,6.\]

Ответ: 0,6