Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), удовлетворяющие равенству \[\overline{ab}=a^b+23\]
В левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа \(a\) перед десятичной записью числа \(b\).
Пусть \(k\) – количество знаков числа \(b\). Тогда уравнение можно переписать в виде: \[a\cdot 10^k+b=a^b+23\] Рассмотрим случаи:
1) Пусть \(a=1\). Тогда уравнение примет вид: \[10^k+b=1+23 \quad\Leftrightarrow\quad 10^k=24-b\] Так как \(b\) – натуральное число, то \(24-b\leqslant 23\). Так как \(k\) – натуральное число, то \(10^k\geqslant 10\). Следовательно, полученное уравнение может иметь решения, если обе части равны \(10\). Тогда \(k=1\), а \(b=14\). Получили противоречие (в числе \(14\) два знака).
2) Пусть \(b=1\). Тогда \(k=1\). Тогда уравнение примет вид: \[10a+1=a+23 \quad\Leftrightarrow\quad 9a=22\] Данное уравнение не имеет целого решения.
3) Пусть \(a\geqslant 2\) и \(9\geqslant b\geqslant 2\), то есть \(k=1\). Тогда: \[10a+b=a^b+23 \quad\Leftrightarrow\quad a(10-a^{b-1})=23-b\] Если \(b=2\), то уравнение примет вид \[a^2-10a+21=0\] Откуда получаем \(a=3\) и \(a=7\). Следовательно, пары решений: \(a=3,
b=2\) и \(a=7, b=2\).
Если \(b=3\), то уравнение примет вид \[a(10-a^2)=20=2\cdot 2\cdot 5\cdot 1\] Данное уравнение нужно решить в натуральных числах. Число \(a\) может быть равно лишь \(2\) (иначе выражение в скобках будет отрицательным), но \(a=2\) не подходит.
Если \(b=4\), то уравнение примет вид \[a(10-a^3)=19\] Очевидно, оно также не имеет решения в натуральных числах.
Рассмотрим уравнение при \(5\leqslant b\leqslant 9\): \[a(10-a^{b-1})=23-b\] Тогда \(14\leqslant 23-b\leqslant 18\), а \(10-a^{b-1}<10-2^{5-1}=-6\), то есть левая часть отрицательна, а правая – положительна. Следовательно, решений нет.
4) Докажем, что уравнение не имеет решений ни при каких \(a\) и \(b\) так, что \(a\geqslant 2\), \(b\geqslant 10\), \(k\geqslant 2\).
Заметим, что для произвольного \(k\) можно сказать, что \(10^{k-1}\leqslant b<10^k\). \[a^b+23=10^ka+b\] Предположим, что уравнение имеет решения.
\(a^b+23>a^b=a^{b-1}\cdot a\geqslant 2^{b-1}\cdot a\)
\(10^ka+b<10^ka+10^ka=2a\cdot 10^k\)
Следовательно, должно быть выполнено: \[2^{b-1}\cdot a<2a\cdot 10^k
\quad\Rightarrow\quad 2^{b-1}<2\cdot 10^k\] Как говорилось ранее, \(10^{k-1}\leqslant b<10^k\), следовательно, \[2^{b-1}\geqslant 2^{10^{k-1}-1}\] Следовательно, должно быть выполнено: \[2^{10^{k-1}-1}<2\cdot 10^k
\quad\Leftrightarrow\quad 2^{10^{k-1}}<4\cdot 10^k\] Докажем, что при любых \(b, k\) (рассматриваемых в данном случае) верно неравенство: \[2^{10^{k-1}}>4\cdot 10^k\] Это будет означать, что предположение неверно и уравнение не имеет решений.
Докажем его методом математической индукции.
При \(k=2\) оно верно: \[2^{10^{2-1}}>4\cdot 10^2
\quad\Leftrightarrow\quad 2^{10}>4\cdot 100
\quad\Leftrightarrow\quad 1024>400\] Предположим, что оно верно при \(k\): \[4\cdot 10^k<2^{10^{k-1}}\quad (*)\] Докажем, что оно верно при \(k+1\): \[4\cdot 10^{k+1}<2^{10^k}\] Умножим обе части неравенства \((*)\) на \(10\): \[4\cdot 10^{k+1}
<10\cdot 2^{10^{k-1}}<2^4\cdot
2^{10^{k-1}}=2^{10^{k-1}+4}<2^{10^k}\] Таким образом, получили требуемое неравенство при \(k+1\), чтд.
Ответ:
\(a=3, b=2\) и \(a=7, b=2\)
