Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения на отрезке и в интервале (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Если функция задана как частное двух других функций, то \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{x + 1}{\sin x}\) на полуинтервале \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\sin x \neq 0\) – выполнено на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{(x + 1)'\cdot \sin x - (\sin x)'\cdot (x + 1)}{\sin^2 x} = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\sin x - (x + 1)\cos x}{\sin^2 x}\,.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\sin x - (x + 1)\cos x}{\sin^2 x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin x - (x + 1)\cos x = 0\] – на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\). При этом на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) имеем: \(x + 1\geqslant 1\), \(\cos x > 0\), тогда \((x + 1)\cos x \geqslant \cos x\), но на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) выполнено \(\sin x \leqslant \cos x\), причём равенство \(\sin x = \cos x\) достигается только при \(x = \dfrac{\pi}{4}\), следовательно, у уравнения \[\sin x - (x + 1)\cos x = 0\] решением может быть только \(x = \dfrac{\pi}{4}\), но и оно не подходит, то есть производная исходной функции не обращается в \(0\) на рассматриваемом полуинтервале. При этом на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) производная \(y'\) всюду существует, тогда эта производная всюду на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) имеет один и тот же знак.

Так как

\[\begin{aligned} y'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\, &\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\sin \dfrac{\pi}{4} - \left(\dfrac{\pi}{4} + 1\right)\cos \dfrac{\pi}{4}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \left(\dfrac{\pi}{4} + 1\right)\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} =\\ =\, &\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\left(-\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}\right) < 0\,, \end{aligned}\]

то на полуинтервале \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) производная исходной функции отрицательна и на этом полуинтервале исходная функция убывает.

Тогда наименьшего значения функция достигает в \(x = \dfrac{\pi}{4}\):

\[y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\pi}{4} + 1}{\sin\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\pi}{4} + 1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 2\]

Ответ: 2