Найдите наименьшее значение функции \(y = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{x + 1}{\sin x}\) на полуинтервале \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\).
ОДЗ: \(\sin x \neq 0\) – выполнено на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\). Решим на ОДЗ:
1) \[y' = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{(x + 1)'\cdot \sin x - (\sin x)'\cdot (x + 1)}{\sin^2 x} = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\sin x - (x + 1)\cos x}{\sin^2 x}\,.\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\sin x - (x + 1)\cos x}{\sin^2 x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin x - (x + 1)\cos x = 0\] – на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\). При этом на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) имеем: \(x + 1\geqslant 1\), \(\cos x > 0\), тогда \((x + 1)\cos x \geqslant \cos x\), но на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) выполнено \(\sin x \leqslant \cos x\), причём равенство \(\sin x = \cos x\) достигается только при \(x = \dfrac{\pi}{4}\), следовательно, у уравнения \[\sin x - (x + 1)\cos x = 0\] решением может быть только \(x = \dfrac{\pi}{4}\), но и оно не подходит, то есть производная исходной функции не обращается в \(0\) на рассматриваемом полуинтервале. При этом на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) производная \(y'\) всюду существует, тогда эта производная всюду на \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) имеет один и тот же знак.
Так как
\[\begin{aligned} y'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\, &\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\sin \dfrac{\pi}{4} - \left(\dfrac{\pi}{4} + 1\right)\cos \dfrac{\pi}{4}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \left(\dfrac{\pi}{4} + 1\right)\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} =\\ =\, &\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\left(-\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}\right) < 0\,, \end{aligned}\]
то на полуинтервале \(\left(0; \dfrac{\pi}{4}\right]\) производная исходной функции отрицательна и на этом полуинтервале исходная функция убывает.
Тогда наименьшего значения функция достигает в \(x = \dfrac{\pi}{4}\):
\[y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\pi}{4} + 1}{\sin\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\pi}{4} + 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\pi}{4} + 1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 2\]
Ответ: 2