Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Квадратные и линейные уравнения (страница 5)

Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax+b=0}\), где \(a\ne 0, b\) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\).

 

Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax^2+bx+c=0}\), где \(a\ne 0,b,c\) – числа.
Выражение \(D=b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:

 

\(\bullet\) если \(D>0\), то оно имеет два различных корня

\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]

\(\bullet\) если \(D=0\), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)

\[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\]

\(\bullet\) если \(D<0\), то оно не имеет корней.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема Виета для квадратного уравнения:

 

Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения

\[{\large{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}}\]

а произведение

\[{\large{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}}\]

\(\blacktriangleright\) Если квадратное уравнение:

 

\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

 

\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (иногда говорят, что два совпадающих), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).

 

\(\sim\) не имеет корней, то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех \(x\) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.

 

\(\blacktriangleright\) Полезные формулы сокращенного умножения:

 

\[\begin{aligned} &x^2-y^2=(x-y)(x+y)\\ &(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\ &(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \end{aligned}\]

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Укажите в ответе сумму квадратов корней уравнения \(\sqrt5x^2-\sqrt{13}x-\sqrt{20}=0\), если они есть, и \(0\), если уравнение не имеет корней.

Добавить задание в избранное

Т.к. \(D=13+4\cdot\sqrt5\cdot\sqrt{20}=13+40=53>0\), то уравнение имеет корни.

 

1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\), \(ab=-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2= \left(\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\right)^2-2\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\right)=\dfrac{13}5+4=6,6.\]

2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\] Тогда \[\begin{aligned} &x_1^2= \left(\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2= \dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex] &x_2^2=\left(\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2= \dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex] &\Rightarrow \quad x_1^2+x_2^2=\dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}+ \dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}=6,6. \end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 6,6

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Сумма квадратов различных вещественных корней приведенного квадратичного трехчлена равна \(1\), а сумма кубов этих же корней равна \(-1\). Найдите количество квадратичных трехчленов, удовлетворяющих этим условиям.

Добавить задание в избранное

Приведенным называется квадратичный трехчлен вида \(t^2+bt+c\), где \(b, c\) – некоторые числа. Пусть \(x, y\) – различные вещественные корни такого трехчлена (следовательно, его дискриминант должен быть положительным).
Тогда \[\begin{aligned} &x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(-b)^2-2c=b^2-2c\\ &x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)=-b(b^2-3c) \end{aligned}\] Следовательно, получаем систему: \[\begin{cases} b^2-2c=1\\ -b(b^2-3c)=-1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} c=\dfrac{b^2-1}2\\[2ex] b^3-3b+2=0 \end{cases}\] Найдем корни уравнения \(b^3-3b+2=0\). Подбором находим, что \(b=1\) является корнем. Выполнив деление в столбик, получаем \(b^3-3b+2=(b-1)^2(b+2)=0\), следовательно, его корни: \(b=1\) и \(b=-2\). Тогда получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} b=1\\ c=0 \end{cases} \\ &\begin{cases} b=-2\\[1ex] c=\dfrac32 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Осталось проверить положительность дискриминанта.
Для первой пары чисел получаем: \(D=b^2-4c=1>0\);
для второй пары чисел: \(D=-2<0\).
Следовательно, подходит только одна пара чисел, а это значит, что существует только один приведенный квадратичный трехчлен, удовлетворяющий условиям.

Ответ: 1