Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на первом заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в день, то завод выпускает \(t\) единиц продукции. Если на втором заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в день, то завод выпускает \(2t\) единиц продукции. Заработная плата на обоих заводах для одного рабочего составляет \(300\) рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в день оба завода, если на зарплату в день рабочим выделяется \(2\,166\,000\) рублей.

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(2p\) продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины \(T=t+2p\). Так как заработная плата в час составляет \(300\) рублей, то \(2\,166\,000=300(t^2+p^2)\).
Выразим \(t=T-2p\) и подставим в уравнение: \[2\,166\,000=300((T-2p)^2+p^2) \quad\Leftrightarrow\quad 5p^2-4Tp+T^2-7220=0\] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: \[D=16T^2-4\cdot 5(T^2-7220)=4\cdot 5\cdot 7220-4T^2\geqslant 0\] Отсюда получаем, что \(T^2\leqslant 5\cdot 7220=5^2\cdot2^2\cdot 19^2\), следовательно, \(T\in [0;190]\) (учитывая, что \(T\geqslant 0\), так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное \(T\) – это \(T=190\).
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для \(t\) и \(2p\) (так как это количество продукции).
При \(T=190\) дискриминант \(D=0\), следовательно, \[p=\dfrac{4\cdot 190}{2\cdot 5}=76 \quad\Rightarrow \quad 2p=152 \quad\Rightarrow\quad t=190-152=38.\] Таким образом, проверка удалась и ответом является \(T=190\).

Ответ: 190

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местных радио- и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной \(1000\$\) в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в \(5\$\), а каждая минута телерекламы – в \(100\$\). Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения, но при этом фирма решила, что время радиорекламы не должно превышать двух часов. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в \(25\) раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой, если время можно покупать только поминутно.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть фирма купила \(y\) минут радиорекламы и \(x\) минут телерекламы. Тогда из условия следует, что \[\begin{cases} 5y+100x\leqslant 1000\\ y\geqslant 2x\\ y\leqslant 120 \end{cases}\] Если обозначить за \(1\) количество сбыта с одной минуты радиорекламы, то \(F=25x+y\) – количество сбыта с \(y\) минут радио- и \(x\) минут телерекламы. Следовательно, нужно найти такие \(x\geqslant 0\) и \(y\geqslant 0\), чтобы значение \(F\) было наибольшим, причем \(x\) и \(y\) должны удовлетворять системе.
Изобразим область, которую задает данная система:



Область – четырехугольник \(ABCD\) (с границей). Таким образом, нужно найти точку из данной области, в которой значение \(F\) будет наибольшим.

 

Докажем, что эта точка будет находиться на отрезке \(BC\).
Заметим, что чем больше \(x\) и \(y\), тем больше значение \(F\). Заметим также, что если взять любую точку, находящуюся внутри области, на \(AD\) или на \(AB\), то при перемещении этой точки вправо (параллельно оси абсцисс) ее абсцисса будет увеличиваться, ордината оставаться прежней, следовательно, значение \(F\) также будет увеличиваться. Таким образом мы дойдем до границы — ломаной \(BCD\).
Рассмотрим отрезок \(CD\). При движении точки по отрезку от \(D\) к \(C\) значение обеих координат точки будет увеличиваться, следовательно, значение \(F\) будет увеличиваться, таким образом, среди всех точек отрезка \(CD\) наибольшее значение \(F\) будет принимать в точке \(C\).
Значит, наибольшее значение \(F\) принимает в точке, находящейся на отрезке \(BC\).
Найдем абсциссы точек \(B\) и \(C\). Для этого нужно найти абсциссы точек пересечения \(y=200-20x\) с \(y=120\) и \(y=200-20x\) с \(y=2x\). Следовательно, абсцисса точки \(B\) – это \(x_b=4\), абсцисса точки \(C\) – это \(x_c=\frac{100}{11}\). Значит, отрезок \(BC\) задается уравнением \(y=200-20x\), \(x\in \left[4;\frac{100}{11}\right]\).
Подставим: \[F=25x+200-20x=200+5x\] Данная функция принимает наибольшее значение при наибольшем значении \(x\). Вспомним, что \(x\) к тому же должен быть целым неотрицательным. Так как \(x\in \left[4;\frac{100}{11}\right]\), то наибольший такой \(x_{max}=9\) (так как \(\frac{100}{11}=9\frac1{11}\)). Следовательно, \[y_{max}=200-20\cdot 9=20.\]

Ответ:

9 минут телерекламы, 20 минут радиорекламы

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Мебельная фирма производит книжные шкафы и серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется \(\frac13\) м\(^2\) древесно-стружечной плиты, \(\frac83\) м\(^2\) сосновой доски и \(\frac13\) человеко-часа рабочего времени.
Аналогичные данные для серванта даются числами: \(\frac12\) м\(^2\) древесно-стружечной плиты, \(3\) м\(^2\) сосновой доски и \(1\) человеко-час.
Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет \(6000\) рублей, от серванта – \(16000\) рублей.
В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются \(45\) м\(^2\) древесно-стружечной плиты, \(330\) м\(^2\) сосновых досок и \(80\) человеко-часов рабочего времени.
Какова максимальная ожидаемая месячная прибыль? Ответ дайте в млн. рублей.

Добавить задание в избранное

Пусть в течение месяца изготовили \(y\) шкафов и \(x\) сервантов. Тогда прибыль в тыс. рублей составит \(P=6y+16x\). Так как на изготовление шкафов и сервантов не может быть потрачено больше плит, досок и человеко-часов, чем имелось, то должно быть выполнено: \[\begin{cases} y\cdot \dfrac13+x\cdot \dfrac12\leqslant 45\\[2ex] y\cdot \dfrac83+x\cdot 3\leqslant 330\\[2ex] y\cdot \dfrac13+x\leqslant 80 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 2y+3x\leqslant 270\\ 8y+9x\leqslant 990\\ y+3x\leqslant 240 \end{cases}\] Следовательно, при выполнении этих условий (системы) необходимо найти наибольшее значение для \(P\).

 

Графиком данной системы является область с границей, изображенная на рисунке (учитывая, что \(x,y\geqslant 0\), так как это количество изделий):



Причем сразу заметим, что \(x,y\) также должны принимать только целые значения.
Таким образом, необходимо найти такую точку из данной области, в которой значение функции \(P(x,y)=6y+16x\) будет наибольшим.

 

1) Докажем сначала, что наибольшее значение функция \(P\) будет принимать точно на границе \(CABD\) области.
Действительно, возьмем точку \(Q(x;y)\) внутри области (или на \(CO, OD\)). Заметим, что при увеличении \(x\) или \(y\) значение функции \(P\) будет увеличиваться.
Так как \(Q\) находится внутри области, то все точки, находящиеся на отрезках \(QQ_x\) и \(QQ_y\) (\(QQ_x\parallel Ox\), \(QQ_y\parallel Oy\)), а также между этими отрезками и границей области, будут иметь большие координаты по \(x\) или по \(y\), чем \(Q\). Следовательно, в них значение функции \(P(x,y)\) будет больше, чем в точке \(Q\). Таким образом, для любой точки внутри области найдется всегда точка на границе, в которой значение функции \(P\) будет больше.
Следовательно, будем искать точку, в которой значение \(P\) максимально, на границе \(CABD\).

 

2) Заметим, что эта граница области разбивается на отрезки: \(CA, AB, BD\).
Найдем координаты точек \(A, B, C, D\): \(A(30;90)\), \(B(70;30)\), \(C\left(0;\frac{495}4\right)\), \(D(80;0)\).
Рассмотрим каждый из отрезков по отдельности.

 

Отрезок \(CA\).
Это часть прямой \(8y+9x=990\) при \(y\in \left[90;\frac{495}4\right]\). Выразим \(x=110-\frac89y\) и подставим в \(P\): \[P=1760-\dfrac{74}9y\leqslant 1760-\dfrac{74}9\cdot 90=1020.\] Следовательно, наибольшее значение \(P\) – это \(1020\) тыс. рублей.

 

Отрезок \(AB\).
Это часть прямой \(2y+3x=270\) при \(y\in \left[30;90\right]\). Выразим \(x=90-\frac23y\) и подставим в \(P\): \[P=1440-\dfrac{14}3y\leqslant 1440-\dfrac{14}3\cdot 30=1300.\] Следовательно, наибольшее значение \(P\) – это \(1300\) тыс. рублей.

 

Отрезок \(BD\).
Это часть прямой \(y+3x=240\) при \(x\in \left[70;80\right]\). Выразим \(y=240-3x\) и подставим в \(P\): \[P=1440-2x\leqslant 1440-2\cdot 70=1300.\] Следовательно, наибольшее значение \(P\) – это \(1300\) тыс. рублей.

 

Таким образом, наибольшее значение \(P\) достигается на отрезках \(AB\) и \(BD\), а именно в точке с координатами \(x=70\) и \(y=30\).
Следовательно, в млн. рублей наибольшая прибыль равна 1,3.

Ответ: 1,3

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна \(t^2\) тыс. рублей в конце каждого года \(t\) (\(t=1; 2; ...\)). Фонд может продать все акции в конце некоторого года и положить все вырученные с продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящую на счете, в \(r\) раз, где \(r\) – некоторое положительное большее единицы число. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-ого года, то в конце 25-ого года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число \(r\).

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Если фонд продаст акции в конце \(t\)-ого год, то на конец 25-ого года они пролежат в банке \(25-t\) лет. Так как каждый год банк увеличивает сумму в \(r\) раз, то за \(25-t\) лет он увеличит ее в \(r^{25-t}\) раз. Следовательно, на конец 25-ого года фонд будет иметь \[f(t)=t^2\cdot r^{25-t} \quad {\small{\text{тыс. рублей.}}}\]

Рассмотрим эту функцию. В ней \(r\) – некоторое конкретное, но неизвестное число, а \(t\) – переменная. Найдем ее производную: \[f'=2t\cdot r^{25-t}+t^2\cdot r^{25-t}\cdot \ln r\cdot (-1)=r^{25-t}\cdot t\cdot (2-t\ln r)\] Таким образом, нулем производной, учитывая, что \(t\geqslant 1\), является \(t=\dfrac2{\ln r}\).
Причем заметим, что эта точка является точкой максимума. Следовательно, до \(t=\frac2{\ln r}\) функция возрастает, а после – убывает.

 

Таким образом, если, продав акции в 21-ый год, фонд получит наибольшую из возможных прибыль, то это значит, что мы имеем такую картинку:


 

(Для примера на картинке точка \(t=21\) находится правее точки максимума, но левее \(t=22\); может быть наоборот: \(21\) будет находиться левее точки максимума, но правее \(20\). Главное, что \(21\) находится между \(20\) и \(22\) и ближе, чем \(20\) или \(22\), к точке максимума!)

 

То есть \(f(21)>f(20)\) и \(f(21)>f(22)\). Из этого условия будет следовать, что \(f(21)>f(t)\) при любом целом \(t\) от 1 до 25. Решим полученную систему: \[\begin{cases} 21^2\cdot r^4>20^2\cdot r^5\\ 21^2\cdot r^4>22^2\cdot r^3 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} r<\dfrac{21^2}{20^2}\\[2ex] r>\dfrac{22^2}{21^2} \end{cases}\] откуда получаем, что \(r\in\left(\dfrac{484}{441};\dfrac{441}{400}\right).\)

Ответ:

\(\left(\dfrac{484}{441};\dfrac{441}{400}\right)\)