На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на первом заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в день, то завод выпускает \(t\) единиц продукции. Если на втором заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в день, то завод выпускает \(2t\) единиц продукции. Заработная плата на обоих заводах для одного рабочего составляет \(300\) рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в день оба завода, если на зарплату в день рабочим выделяется \(2\,166\,000\) рублей.
Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(2p\) продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины \(T=t+2p\). Так как заработная плата в час составляет \(300\) рублей, то \(2\,166\,000=300(t^2+p^2)\).
Выразим \(t=T-2p\) и подставим в уравнение: \[2\,166\,000=300((T-2p)^2+p^2) \quad\Leftrightarrow\quad
5p^2-4Tp+T^2-7220=0\] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: \[D=16T^2-4\cdot 5(T^2-7220)=4\cdot 5\cdot 7220-4T^2\geqslant 0\] Отсюда получаем, что \(T^2\leqslant 5\cdot 7220=5^2\cdot2^2\cdot
19^2\), следовательно, \(T\in [0;190]\) (учитывая, что \(T\geqslant 0\), так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное \(T\) – это \(T=190\).
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для \(t\) и \(2p\) (так как это количество продукции).
При \(T=190\) дискриминант \(D=0\), следовательно, \[p=\dfrac{4\cdot 190}{2\cdot 5}=76 \quad\Rightarrow \quad 2p=152
\quad\Rightarrow\quad t=190-152=38.\] Таким образом, проверка удалась и ответом является \(T=190\).
Ответ: 190