Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) даны три стороны: \(AB=26, BC=30, AC=28\). Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектриссой и высотой, проведенных из вершины \(B\).

Добавить задание в избранное


 

Пусть \(BP\) и \(BQ\) - высота и биссектриса данного треугольника \(ABC\). По формуле Герона:

\[S_{ABC} = \sqrt{42\cdot(42 - 30)(42 - 28)(42 - 26)}=14\cdot6\cdot4 = 336.\]

Запишем формулу площади треугольника \(ABC\) через высоту: \(S_{ABC} = \dfrac{AC\cdot BP}2\). Тогда  

\[BP = \dfrac{2\cdot S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2\cdot 336}{28} = 24.\]  

Из свойства биссектрисы треугольника: \(\dfrac{AQ}{QC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{13}{15}.\)  

Поэтому: \(AQ = \dfrac{13}{28}\cdot AC =13.\)  

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(APB\):

\[AP = \sqrt{AB^2-BP^2} = \sqrt{26^2-24^2} = 10.\]

Слeдовательно, \(PQ = AQ - AP = 13-10=3, S_{BPQ} = \dfrac{1}2 \cdot PQ \cdot BP = \dfrac{3\cdot 24}2 = 36.\)

Ответ: 36

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Диагонали трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). \(DC\) – большее основание трапеции. Площадь треугольника \(ADO\) равна 12, \(DO = 2BO\). Найдите площадь трапеции.

Добавить задание в избранное


 

По формуле площади треугольника:

\[S_{ADO} = 0,5\cdot 2BO\cdot OH\Rightarrow S_{AOB} = 0,5\cdot BO\cdot OH =12 : 2 = 6.\]

Т.к. \(AB\parallel DC\Rightarrow \) треугольники \(AOB\) и \(DOC\) подобны и коэффициент подобия:

\[k = \dfrac{DO}{BO} = 2\Rightarrow \dfrac{S_{DOC}}{S_{AOB}}= k^2 = 4.\] \[S_{DOC} = 6\cdot 4 =24, S_{BOC} = S_{AOD} = 12.\] \[S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{AOB} + S_{DOC} + S_{BOC} = 54.\]

Ответ: 54

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) \((BC = AB)\) равна 20. В треугольнике проведены высоты \(BD\) и \(AH\), пересекающиеся в точке \(L\). Найдите площадь треугольника \(BLH\), если \(AH = 4\sqrt{2}\).

Добавить задание в избранное



\[S_{ABC} = 0,5\cdot AH\cdot CB = 20\Rightarrow CB = AB = 5\sqrt{2}.\]

Из треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора:

\[BH = \sqrt{BA^2 - AH^2} = 3\sqrt{2}.\]

Т.к. \(BD\) - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию \(\Rightarrow\) она также является биссектрисой и медианой, тогда по свойству биссектрисы:  

\[\dfrac{HL}{HB} = \dfrac{AH-HL}{AB}\Rightarrow HL = 1,5\sqrt{2}.\]  

\[S_{BLH} = 0,5\cdot HL\cdot HB = 4,5.\]

Ответ: 4,5