Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) \((BC = AB)\) равна 20. В треугольнике проведены высоты \(BD\) и \(AH\), пересекающиеся в точке \(L\). Найдите площадь треугольника \(BLH\), если \(AH = 4\sqrt{2}\).

Добавить задание в избранное



\[S_{ABC} = 0,5\cdot AH\cdot CB = 20\Rightarrow CB = AB = 5\sqrt{2}.\]

Из треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора:

\[BH = \sqrt{BA^2 - AH^2} = 3\sqrt{2}.\]

Т.к. \(BD\) - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию \(\Rightarrow\) она также является биссектрисой и медианой, тогда по свойству биссектрисы:  

\[\dfrac{HL}{HB} = \dfrac{AH-HL}{AB}\Rightarrow HL = 1,5\sqrt{2}.\]  

\[S_{BLH} = 0,5\cdot HL\cdot HB = 4,5.\]

Ответ: 4,5