Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 22 #3932
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) равна \(90\), боковая сторона равна \(10\sqrt{3}\). К основанию \(AB\) и стороне \(BC\) проведены высоты \(CP\) и \(AH\), пересекающиеся в точке \(D\). Найдите площадь треугольника \(CDH\).



Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(CA = CB=10\sqrt3\), следовательно, \(S_{ABC} = 0,5\cdot CB\cdot AH = 90\quad\Rightarrow\quad AH = 6\sqrt{3}\).
Из треугольника \(HCA\) по теореме Пифагора имеем: \(CH = \sqrt{CA^2 - AH^2} = 8\sqrt{3}.\)
Так как \(CP\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведенная к основанию \(AB\), то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из \(\triangle HCA\): \[\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{DA}{CA} \quad\Rightarrow \quad \dfrac{DH}{8\sqrt{3}} =\dfrac{(6\sqrt{3} - DH)}{10\sqrt{3}}\quad\Rightarrow \quad DH = \dfrac{8\sqrt{3}}3\] Следовательно, так как \(\triangle CDH\) прямоугольный, то \(S_{CDH} = 0,5\cdot CH\cdot DH = 32.\)

Ответ: 32

Задание 23 #3933
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) равна \(20\). В нем проведены высоты \(BD\) и \(AH\), пересекающиеся в точке \(L\). Найдите площадь треугольника \(BLH\), если \(AH = 4\sqrt{2}\).



\[S_{ABC} = 0,5\cdot AH\cdot CB = 20\quad\Rightarrow \quad CB =5\sqrt{2}.\] Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB=CB=5\sqrt2\).
Из треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора:

\[HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = 3\sqrt{2}.\] Так как \(BD\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведенная к основанию, то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из \(\triangle ABH\):

\[\dfrac{HL}{HB} = \dfrac{AH-HL}{AB}\quad \Rightarrow\quad HL = 1,5\sqrt{2}.\] Следовательно, \(S_{BLH} = 0,5\cdot HL\cdot HB = 4,5.\)

Ответ: 4,5