Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 8 #3616
Уровень задания: Равен ЕГЭ

У треугольника со сторонами \(9\) и \(6\) проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна \(4\). Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Добавить задание в избранное

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, \(S=0,5\cdot 9\cdot 4\), а с другой стороны \(S=0,5\cdot 6\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти. Следовательно, \[0,5\cdot 9\cdot 4=0,5\cdot 6\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Ответ: 6

Задание 9 #3615
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(5\), а основание равно \(6\). Найдите площадь этого треугольника.

Добавить задание в избранное

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой.



Таким образом мы получили прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \(3\) и гипотенузой \(5\). По теореме Пифагора найдем \(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\) (заметим, что такой треугольник называется “египетским”).
Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она проведена, то \[S=\dfrac12 h\cdot 6=12\]

Ответ: 12

Задание 10 #2590
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Проекция диагонали равнобедренной трапеции на ее большее основание равна \(6\), боковая сторона равна \(3\). Найдите площадь трапеции, если угол при её меньшем основании равен \(150^\circ\).

Добавить задание в избранное


 

\(AE\) - есть проекция диагонали \(AC\) на основание трапеции \(AD\). Запишем формулу площади трапеции:  

\[S=CE\cdot\dfrac{BC+AD}2.\]  

Проведя вторую высоту \(BF\), заметим, что треугольники \(AFB\) и \(DEC\) равны по двум углам и стороне между ними, т. к. боковые стороны в равнобедренной трапеции равны, отсюда следует, что:

\[AF=ED \Rightarrow FE=AD-2ED=BC.\]

Подставим полученные данные в формулу площади трапеции:  

\[CE \cdot \dfrac{BC+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{AD-2ED+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{2 \cdot(AE+ED) - 2ED}{2}= CE \cdot AE.\]  

Чтобы найти высоту \(CE\), заметим, что \(\angle ABC= 150^\circ\Rightarrow \angle ABF = 150^\circ-90^\circ = 60^\circ\Rightarrow BF=CE=\cos(60^\circ)\cdot AB\).

Теперь подставим высоту в формулу и найдем площадь трапеции:

\[S=AE\cdot\cos{60^\circ}\cdot AB= 6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 3=9.\]

Ответ: 9

Задание 11 #267
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(CD\) – высота, \(CD = \sqrt{12}\), \(AB = \pi\sqrt{3}\), \(AC = 2\pi\). Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой, содержащей отрезок \(AC\).



Добавить задание в избранное

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за \(h\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AB \cdot CD = 0,5 \cdot AC \cdot h\), откуда \(0,5\cdot \pi\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = 0,5 \cdot 2\pi \cdot h\), значит, \(h = 3\).

Ответ: 3

Задание 12 #2657
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BD = 2\) – высота, \(BC = 4\), \(AC = 12\). Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой, содержащей отрезок \(BC\).

Добавить задание в избранное

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки \(A\) до прямой, содержащей отрезок \(BC\), равно длине высоты \(AE\).



Посчитаем площадь треугольника \(ABC\) двумя способами: \[0,5AC\cdot BD = S_{ABC} = 0,5AE\cdot BC\,,\] откуда \(12 = 2AE\), следовательно, \(AE = 6\).

Ответ: 6

Задание 13 #1770
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): точки \(D\) и \(E\) лежат на \(AB\), причём \(\dfrac{AD + BE}{AB} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ACD\) равна \(10\), \(\dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{6}{5}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

Пусть \(h\) – длина высоты, опущенной из точки \(C\) на \(AB\), тогда \(S_{ABC} = 0,5\cdot AB\cdot h\).   \(S_{CEB} = 0,5\cdot EB\cdot h\), \(S_{CED} = 0,5\cdot DE\cdot h\), откуда \(\dfrac{6}{5} = \dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{0,5\cdot EB\cdot h}{0,5\cdot DE\cdot h} = \dfrac{EB}{DE}\), но \(DE = AB - (AD + BE) = AB - \dfrac{2}{3}\cdot AB = \dfrac{1}{3}\cdot AB\), откуда \(EB = \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot AB = \dfrac{2}{5}\cdot AB\), тогда \(AD = AB - (DE + EB) = AB - \dfrac{1}{3}\cdot AB - \dfrac{2}{5}\cdot AB = \dfrac{4}{15}\cdot AB\).
\(10 = S_{ACD} = 0,5\cdot AD\cdot h = 0,5\cdot \dfrac{4}{15}\cdot AB\cdot h = \dfrac{4}{15}\cdot S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC} = 10\cdot\dfrac{15}{4} = 37,5\).

Ответ: 37,5

Задание 14 #2707
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите квадрат площади треугольника \(ABC\), если \(AC =3\), \(BC= 4\), а медианы, проведенные из вершин \(A\) и \(B\), взаимно перпендикулярны.

Добавить задание в избранное



Т.к. \(BP\)- медиана, то \(S_{ABP} = S_{PBC}\Rightarrow S_{ABC} = 2\cdot S_{ABP}\).

Т.к. \(AM\) и \(BP\) - медианы, то точка \(O\) делит их в отношении 2:1, считая от вершины, тогда если \(OM = x\Rightarrow AO = 2x, OP = y\Rightarrow BO=2y\). Получим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 4\\ 4x^2 + y^2 = 2,25 \end{cases}\]  

Из системы находим \(x\) и \(y\):  

\[x = \sqrt{\dfrac{1}3}, y =\sqrt{\dfrac{2,75}3}\]

Тогда: \(S_{ABP} = 0,5\cdot 2x\cdot 3y = 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3}\).

\[S_{ABC} = 2\cdot 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3} = \sqrt{11}.\] \[(S_{ABC})^2 = 11.\]

Ответ: 11

1 2 3 4