Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точка \(D\) делит сторону \(BC\) на две части, причём \(BD = 4\). Найдите площадь треугольника \(ABD\), если \(\angle C = 90^\circ , AC = 5\).

Добавить задание в избранное



Т.к. \(AC\) является высотой треугольников \(ABD\) и \(ABC \Rightarrow\) площади этих треугольников относятся как их основания:  

\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \dfrac{BD}{BC}.\]   \[S_{ABC} = \dfrac{1}2\cdot AC\cdot BC.\]   \[S_{ABD} = \dfrac{BD\cdot S_{ABC}}{BC} = \dfrac{1}2\cdot BD\cdot AC = 10.\]  

Ответ: 10

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(P\) и \(Q\) – середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(ABC\), если периметр треугольника \(APQ\) равен \(21\).

 

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное


 

Т.к. \(PQ\) – средняя линия \(\triangle ABC\), то \(2PQ=BC\). Периметр \(\triangle ABC\): \[P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2\cdot P_{APQ}=2\cdot 21=42.\]

Ответ: 42

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – медиана. Площадь треугольника \(ABD\) равна \(1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника \(BDC\) равна площади треугольника \(ABD\) и равна \(1\). Тогда площадь треугольника \(ABC\), равная сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(BDC\), равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABD\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, проведённая из \(B\) к стороне \(AC\). Площадь треугольника \(BDC\) равна \(0,5 \cdot CD \cdot h\), но \(CD = AD\), тогда \(0,5 \cdot AD \cdot h = 0,5 \cdot CD \cdot h\) и, значит, площади треугольников \(ABD\) и \(BDC\) равны.

Ответ: 2

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): точка \(D\) лежит на \(AC\), причём \(\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ABD\) равна \(7,5\). Найдите площадь треугольника \(BCD\).



Добавить задание в избранное

Построим высоту \(BK\)
Площадь треугольника \(ABD\) может быть найдена по формуле: \(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot BK\).
Аналогично \(S_{BCD} = 0,5\cdot CD\cdot BK\), откуда можно сделать вывод:
\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \dfrac{0,5\cdot CD\cdot BK}{0,5\cdot AD\cdot BK} = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{3}{2}\), тогда \(S_{BCD} = \dfrac{3}{2}\cdot S_{ABD} = \dfrac{3}{2}\cdot 7,5 = 11,25\).

Ответ: 11,25

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(CD\) – высота, \(CD = \sqrt{12}\), \(AB = \pi\sqrt{3}\), \(AC = 2\pi\). Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой, содержащей отрезок \(AC\).



Добавить задание в избранное

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за \(h\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AB \cdot CD = 0,5 \cdot AC \cdot h\), откуда \(0,5\cdot \pi\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = 0,5 \cdot 2\pi \cdot h\), значит, \(h = 3\).

Ответ: 3

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BD = 2\) – высота, \(BC = 4\), \(AC = 12\). Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой, содержащей отрезок \(BC\).

Добавить задание в избранное

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки \(A\) до прямой, содержащей отрезок \(BC\), равно длине высоты \(AE\).



Посчитаем площадь треугольника \(ABC\) двумя способами: \[0,5AC\cdot BD = S_{ABC} = 0,5AE\cdot BC\,,\] откуда \(12 = 2AE\), следовательно, \(AE = 6\).

Ответ: 6

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): точки \(D\) и \(E\) лежат на \(AB\), причём \(\dfrac{AD + BE}{AB} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ACD\) равна \(10\), \(\dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{6}{5}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

Пусть \(h\) – длина высоты, опущенной из точки \(C\) на \(AB\), тогда \(S_{ABC} = 0,5\cdot AB\cdot h\).   \(S_{CEB} = 0,5\cdot EB\cdot h\), \(S_{CED} = 0,5\cdot DE\cdot h\), откуда \(\dfrac{6}{5} = \dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{0,5\cdot EB\cdot h}{0,5\cdot DE\cdot h} = \dfrac{EB}{DE}\), но \(DE = AB - (AD + BE) = AB - \dfrac{2}{3}\cdot AB = \dfrac{1}{3}\cdot AB\), откуда \(EB = \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot AB = \dfrac{2}{5}\cdot AB\), тогда \(AD = AB - (DE + EB) = AB - \dfrac{1}{3}\cdot AB - \dfrac{2}{5}\cdot AB = \dfrac{4}{15}\cdot AB\).
\(10 = S_{ACD} = 0,5\cdot AD\cdot h = 0,5\cdot \dfrac{4}{15}\cdot AB\cdot h = \dfrac{4}{15}\cdot S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC} = 10\cdot\dfrac{15}{4} = 37,5\).

Ответ: 37,5

1 2 3 4