Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 2)

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, \(S=0,5\cdot 9\cdot 4\), а с другой стороны \(S=0,5\cdot 6\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти. Следовательно, \[0,5\cdot 9\cdot 4=0,5\cdot 6\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Ответ: 6

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой.



Таким образом мы получили прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \(3\) и гипотенузой \(5\). По теореме Пифагора найдем \(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\) (заметим, что такой треугольник называется “египетским”).
Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она проведена, то \[S=\dfrac12 h\cdot 6=12\]

Ответ: 12

\(AE\) - есть проекция диагонали \(AC\) на основание трапеции \(AD\). Запишем формулу площади трапеции:  

\[S=CE\cdot\dfrac{BC+AD}2.\]  

Проведя вторую высоту \(BF\), заметим, что треугольники \(AFB\) и \(DEC\) равны по двум углам и стороне между ними, т. к. боковые стороны в равнобедренной трапеции равны, отсюда следует, что:

\[AF=ED \Rightarrow FE=AD-2ED=BC.\]

Подставим полученные данные в формулу площади трапеции:  

\[CE \cdot \dfrac{BC+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{AD-2ED+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{2 \cdot(AE+ED) - 2ED}{2}= CE \cdot AE.\]  

Чтобы найти высоту \(CE\), заметим, что \(\angle ABC= 150^\circ\Rightarrow \angle ABF = 150^\circ-90^\circ = 60^\circ\Rightarrow BF=CE=\cos(60^\circ)\cdot AB\).

Теперь подставим высоту в формулу и найдем площадь трапеции:

\[S=AE\cdot\cos{60^\circ}\cdot AB= 6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 3=9.\]

Ответ: 9

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за \(h\).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то \(0,5 \cdot AB \cdot CD = 0,5 \cdot AC \cdot h\), откуда \(0,5\cdot \pi\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = 0,5 \cdot 2\pi \cdot h\), значит, \(h = 3\).

Ответ: 3

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки \(A\) до прямой, содержащей отрезок \(BC\), равно длине высоты \(AE\).



Посчитаем площадь треугольника \(ABC\) двумя способами: \[0,5AC\cdot BD = S_{ABC} = 0,5AE\cdot BC\,,\] откуда \(12 = 2AE\), следовательно, \(AE = 6\).

Ответ: 6

Пусть \(h\) – длина высоты, опущенной из точки \(C\) на \(AB\), тогда \(S_{ABC} = 0,5\cdot AB\cdot h\).   \(S_{CEB} = 0,5\cdot EB\cdot h\), \(S_{CED} = 0,5\cdot DE\cdot h\), откуда \(\dfrac{6}{5} = \dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{0,5\cdot EB\cdot h}{0,5\cdot DE\cdot h} = \dfrac{EB}{DE}\), но \(DE = AB - (AD + BE) = AB - \dfrac{2}{3}\cdot AB = \dfrac{1}{3}\cdot AB\), откуда \(EB = \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot AB = \dfrac{2}{5}\cdot AB\), тогда \(AD = AB - (DE + EB) = AB - \dfrac{1}{3}\cdot AB - \dfrac{2}{5}\cdot AB = \dfrac{4}{15}\cdot AB\).
\(10 = S_{ACD} = 0,5\cdot AD\cdot h = 0,5\cdot \dfrac{4}{15}\cdot AB\cdot h = \dfrac{4}{15}\cdot S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC} = 10\cdot\dfrac{15}{4} = 37,5\).

Ответ: 37,5

Т.к. \(BP\)- медиана, то \(S_{ABP} = S_{PBC}\Rightarrow S_{ABC} = 2\cdot S_{ABP}\).

Т.к. \(AM\) и \(BP\) - медианы, то точка \(O\) делит их в отношении 2:1, считая от вершины, тогда если \(OM = x\Rightarrow AO = 2x, OP = y\Rightarrow BO=2y\). Получим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 4\\ 4x^2 + y^2 = 2,25 \end{cases}\]  

Из системы находим \(x\) и \(y\):  

\[x = \sqrt{\dfrac{1}3}, y =\sqrt{\dfrac{2,75}3}\]

Тогда: \(S_{ABP} = 0,5\cdot 2x\cdot 3y = 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3}\).

\[S_{ABC} = 2\cdot 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3} = \sqrt{11}.\] \[(S_{ABC})^2 = 11.\]

Ответ: 11