Произвольная трапеция (страница 2)

Т.к. \(QR\) и \(PS\) параллельны основаниям, то четырехугольник \(PQRS\) также будет трапецией, причем среднии линии \(ABCD\) и \(PQRS\) совпадают. Средняя линия равна \(\frac{1}{2}\cdot(QR + PS) = \frac{1}{2}\cdot(6,75 + 8,25) = 7,5\). Тогда можно выразить верхнее основание через среднюю линию и нижнее основание следующим образом: \(BC = 2\cdot7,5 - 12 = 3\).

Ответ: 3

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Так как \(BC || AD\), то в \(BCFE\) все углы прямые, следовательно, \(BCFE\) – прямоугольник и \(EF = BC = 3\). Средняя линия в трапеции параллельна её основаниям, тогда \(MK || AE\). При этом, \(M\) – середина \(AB\), значит, \(MK\) – средняя линия в треугольнике \(ABE\). Средняя линия треугольника равна половине его основания, тогда \(AE = 2\cdot MK = 2\).

\(AD = AE + EF + FD = 2 + 3 + 2,4 = 7,4\). Треугольник \(BCF\) – прямоугольный. \(BC = 3\), \(BF = 5\), откуда по теореме Пифагора: \(CF^2 = BF^2 - BC^2 = 25 - 9 = 16\), то есть, \(CF = 4\).

Площадь \(ABCD\) равна \(0,5(3 + 7,4)\cdot 4 = 20,8\).

Ответ: 20,8

Проведем высоту \(CH\).



\(ADCH\) – прямоугольник, следовательно, \(AH=DC=4\). Тогда \(HB=12-4=8\). Площадь трапеции равна \[64=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{4+12}2\cdot CH\quad\Rightarrow\quad CH=8\] Заметим, что мы получили, что \(CH=HB=8\). То есть \(\triangle CHB\) равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть \(\angle HCB=\angle HBC\). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\), то \(\angle B=\angle HBC=90^\circ:2=45^\circ\).

Ответ: 45

Пусть \(M\) и \(N\) – середины боковых сторон трапеции. Отрезок \(MN\) пересекает диагонали в серединах: \(E\) и \(G\).



Действительно, так как \(MN\) – средняя линия, то \(MN\parallel AB\parallel CD\). Следовательно, если рассмотреть \(\triangle ADC\), то \(NE\parallel CD\). Так как к тому же \(N\) – середина \(AD\), то по теореме Фалеса \(E\) – середина \(AC\). Аналогично доказывается, что \(G\) – середина \(DB\).
Так как средняя линия равна полусумме оснований, то \(MN=0,5(3+2)=2,5\). Так как \(NE\) и \(GM\) – средние линии в треугольниках \(ADC\) и \(BDC\) соответственно, параллельные \(CD\), то \(NE=GM=0,5CD=0,5\cdot 2=1\). Следовательно, \(EG=MN-NE-GM=2,5-1-1=0,5\).

Ответ: 0,5

Пусть \(AD=7\), тогда \(\angle ADC=150^\circ\). По свойству трапеции \(\angle DAB=180^\circ-150^\circ=30^\circ\). Проведем \(DH\perp AB\).



Рассмотрим \(\triangle ADH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(DH=AD:2=3,5\). Тогда площадь трапеции равна \[S=\dfrac{AB+DC}2\cdot DH=\dfrac{18+6}2\cdot 3,5=42\]

Ответ: 42

Пусть \(AD=8\). Проведем \(DH\perp AB\).



Тогда площадь трапеции равна \[72=\dfrac{AB+DC}2\cdot DH=\dfrac{27+9}2\cdot DH\quad\Rightarrow\quad DH=4\] Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ADH\). Так как катет \(DH\) равен половине гипотенузы \(AD\), то угол \(DAH\) равен \(30^\circ\).

Ответ: 30

Проведем высоту \(CH\).



Так как \(\angle HBC=45^\circ\), то \(\angle HCB=45^\circ\). Следовательно, \(\triangle HBC\) равнобедренный и \(HB=HC\).
\(ADCH\) – прямоугольник, следовательно, \(AH=DC=2\). Тогда \(CH=HB=6-2=4\). Тогда площадь трапеции равна \[S=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{2+6}2\cdot 4=16\]

Ответ: 16