Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Произвольная трапеция (страница 2)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства трапеции:

 

\(\blacktriangleright\) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.


 

\(\blacktriangleright\) Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.


 

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ


 

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\): отрезки \(QR\) и \(PS\) параллельны основаниям, причем \(AP = QB\) и \(CR = SD\). Найдите основание \(BC\), если \(QR = 6,75\), \(PS = 8,25\), а \(AD = 12\).

Добавить задание в избранное

Т.к. \(QR\) и \(PS\) параллельны основаниям, то четырехугольник \(PQRS\) также будет трапецией, причем среднии линии \(ABCD\) и \(PQRS\) совпадают. Средняя линия равна \(\frac{1}{2}\cdot(QR + PS) = \frac{1}{2}\cdot(6,75 + 8,25) = 7,5\). Тогда можно выразить верхнее основание через среднюю линию и нижнее основание следующим образом: \(BC = 2\cdot7,5 - 12 = 3\).

Ответ: 3

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 3\) и \(AD > BC\) проведены высоты \(BE\) и \(CF\). \(BE\) пересекает среднюю линию \(MN\) в точке \(K\). Известно, что \(MK = 1\), \(DF = 2,4\), \(BF = 5\). Найдите площадь трапеции \(ABCD\).



Добавить задание в избранное

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Так как \(BC || AD\), то в \(BCFE\) все углы прямые, следовательно, \(BCFE\) – прямоугольник и \(EF = BC = 3\). Средняя линия в трапеции параллельна её основаниям, тогда \(MK || AE\). При этом, \(M\) – середина \(AB\), значит, \(MK\) – средняя линия в треугольнике \(ABE\). Средняя линия треугольника равна половине его основания, тогда \(AE = 2\cdot MK = 2\).

\(AD = AE + EF + FD = 2 + 3 + 2,4 = 7,4\). Треугольник \(BCF\) – прямоугольный. \(BC = 3\), \(BF = 5\), откуда по теореме Пифагора: \(CF^2 = BF^2 - BC^2 = 25 - 9 = 16\), то есть, \(CF = 4\).

Площадь \(ABCD\) равна \(0,5(3 + 7,4)\cdot 4 = 20,8\).

Ответ: 20,8