Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Произвольная трапеция (страница 2)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства трапеции:

 

\(\blacktriangleright\) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.


 

\(\blacktriangleright\) Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.


 

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ


 

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\): отрезки \(QR\) и \(PS\) параллельны основаниям, причем \(AP = QB\) и \(CR = SD\). Найдите основание \(BC\), если \(QR = 6,75\), \(PS = 8,25\), а \(AD = 12\).

Добавить задание в избранное

Т.к. \(QR\) и \(PS\) параллельны основаниям, то четырехугольник \(PQRS\) также будет трапецией, причем среднии линии \(ABCD\) и \(PQRS\) совпадают. Средняя линия равна \(\frac{1}{2}\cdot(QR + PS) = \frac{1}{2}\cdot(6,75 + 8,25) = 7,5\). Тогда можно выразить верхнее основание через среднюю линию и нижнее основание следующим образом: \(BC = 2\cdot7,5 - 12 = 3\).

Ответ: 3

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 3\) и \(AD > BC\) проведены высоты \(BE\) и \(CF\). \(BE\) пересекает среднюю линию \(MN\) в точке \(K\). Известно, что \(MK = 1\), \(DF = 2,4\), \(BF = 5\). Найдите площадь трапеции \(ABCD\).



Добавить задание в избранное

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Так как \(BC || AD\), то в \(BCFE\) все углы прямые, следовательно, \(BCFE\) – прямоугольник и \(EF = BC = 3\). Средняя линия в трапеции параллельна её основаниям, тогда \(MK || AE\). При этом, \(M\) – середина \(AB\), значит, \(MK\) – средняя линия в треугольнике \(ABE\). Средняя линия треугольника равна половине его основания, тогда \(AE = 2\cdot MK = 2\).

\(AD = AE + EF + FD = 2 + 3 + 2,4 = 7,4\). Треугольник \(BCF\) – прямоугольный. \(BC = 3\), \(BF = 5\), откуда по теореме Пифагора: \(CF^2 = BF^2 - BC^2 = 25 - 9 = 16\), то есть, \(CF = 4\).

Площадь \(ABCD\) равна \(0,5(3 + 7,4)\cdot 4 = 20,8\).

Ответ: 20,8

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания прямоугольной трапеции равны \(12\) и \(4\). Ее площадь равна \(64\). Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Проведем высоту \(CH\).



\(ADCH\) – прямоугольник, следовательно, \(AH=DC=4\). Тогда \(HB=12-4=8\). Площадь трапеции равна \[64=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{4+12}2\cdot CH\quad\Rightarrow\quad CH=8\] Заметим, что мы получили, что \(CH=HB=8\). То есть \(\triangle CHB\) равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть \(\angle HCB=\angle HBC\). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\), то \(\angle B=\angle HBC=90^\circ:2=45^\circ\).

Ответ: 45

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания трапеции равны \(3\) и \(2\). Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Добавить задание в избранное

Пусть \(M\) и \(N\) – середины боковых сторон трапеции. Отрезок \(MN\) пересекает диагонали в серединах: \(E\) и \(G\).



Действительно, так как \(MN\) – средняя линия, то \(MN\parallel AB\parallel CD\). Следовательно, если рассмотреть \(\triangle ADC\), то \(NE\parallel CD\). Так как к тому же \(N\) – середина \(AD\), то по теореме Фалеса \(E\) – середина \(AC\). Аналогично доказывается, что \(G\) – середина \(DB\).
Так как средняя линия равна полусумме оснований, то \(MN=0,5(3+2)=2,5\). Так как \(NE\) и \(GM\) – средние линии в треугольниках \(ADC\) и \(BDC\) соответственно, параллельные \(CD\), то \(NE=GM=0,5CD=0,5\cdot 2=1\). Следовательно, \(EG=MN-NE-GM=2,5-1-1=0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания трапеции равны \(18\) и \(6\), боковая сторона, равная \(7\), образует с одним из оснований угол \(150^\circ\). Найдите площадь трапеции.

Добавить задание в избранное

Пусть \(AD=7\), тогда \(\angle ADC=150^\circ\). По свойству трапеции \(\angle DAB=180^\circ-150^\circ=30^\circ\). Проведем \(DH\perp AB\).



Рассмотрим \(\triangle ADH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(DH=AD:2=3,5\). Тогда площадь трапеции равна \[S=\dfrac{AB+DC}2\cdot DH=\dfrac{18+6}2\cdot 3,5=42\]

Ответ: 42

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания трапеции равны \(27\) и \(9\), боковая сторона равна \(8\). Площадь трапеции равна \(72\). Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Пусть \(AD=8\). Проведем \(DH\perp AB\).



Тогда площадь трапеции равна \[72=\dfrac{AB+DC}2\cdot DH=\dfrac{27+9}2\cdot DH\quad\Rightarrow\quad DH=4\] Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ADH\). Так как катет \(DH\) равен половине гипотенузы \(AD\), то угол \(DAH\) равен \(30^\circ\).

Ответ: 30

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны \(6\) и \(2\), большая боковая сторона составляет с основанием угол \(45^\circ\).

Добавить задание в избранное

Проведем высоту \(CH\).



Так как \(\angle HBC=45^\circ\), то \(\angle HCB=45^\circ\). Следовательно, \(\triangle HBC\) равнобедренный и \(HB=HC\).
\(ADCH\) – прямоугольник, следовательно, \(AH=DC=2\). Тогда \(CH=HB=6-2=4\). Тогда площадь трапеции равна \[S=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{2+6}2\cdot 4=16\]

Ответ: 16