Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на круговое движение (страница 2)

Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\]
\(\blacktriangleright\) Пусть два тела начали движение из одной точки в одном направлении со скоростями \(v_1>v_2\).

 

Тогда если \(l\) — длина круга, \(t_1\) — время, через которое они окажутся в одной точке в первый раз, то:

 

То есть за \(t_1\) первое тело пройдет расстояние на \(l\) большее, чем второе тело.

 

Если \(t_n\) — время, через которое они в \(n\)–ый раз окажутся в одной точке, то справедлива формула: \[{\large{t_n=n\cdot t_1}}\]

\(\blacktriangleright\) Пусть два тела начали движение из разных точек в одном направлении со скоростями \(v_1>v_2\).

 

Тогда задача легко сводится к предыдущему случаю: нужно найти сначала время \(t_1\), через которое они окажутся в одной точке в первый раз.
Если на момент начала движения расстояние между ними \(\buildrel\smile\over{A_1A_2}=s\), то:

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два велосипедиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого велосипедиста в полтора раза больше, чем скорость второго. Через час после старта они встретились в пятый раз (считайте, что в первый раз они встретились уже после старта). Найдите скорость первого велосипедиста, если длина трассы \(6\) км. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

В тот момент, когда велосипедисты встретились в пятый раз, суммарное расстояние, которое они проехали, было \(5 \cdot 6 = 30\, км\).

Так как скорость первого в \(1,5\) раза больше, чем скорость второго, то он проехал из \(30\, км\) часть, в \(1,5\) раза большую, чем второй, то есть \(18\, км\).

Так как встретились в пятый раз они через час, то \(18\, км\) первый проехал за час. Его скорость \(18\, км/ч\).

Ответ: 18

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Две беговые дорожки имеют форму окружностей, причём центры этих окружностей совпадают. Илья недавно пришёл на стадион и увидел, как два спортсмена бегут каждый по своей дорожке в противоположных направлениях. Откуда они стартовали, Илье не известно. В первый раз при Илье спортсмены поравнялись через \(2\) минуты после после появления Ильи. Во второй раз они поравнялись через \(5\) минут после появления Ильи. Через сколько минут после появления Ильи спортсмены поравняются в четвёртый раз, если они бегут с постоянной скоростью?

Добавить задание в избранное

Между первыми двумя встречами прошло \(5 - 2 = 3\) минуты. За каждые \(3\) минуты первый спортсмен пробегает фиксированную часть своей дорожки, как и второй спортсмен. Тогда ещё через \(3\) минуты (после второй встречи) два спортсмена снова поравняются (в третий раз), а ещё через \(3\) минуты они поравняются в четвёртый раз. С момента появления Ильи при этом пройдёт \(5 + 3 + 3 = 11\) минут.

Ответ: 11

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Две беговые дорожки имеют форму окружностей, причём центры этих окружностей совпадают, а радиусы отличаются в два раза. Два спортсмена бегут по этим дорожкам в одном направлении с одинаковыми постоянными скоростями. Игорь заметил моменты, когда два спортсмена поравнялись между собой в первый и в десятый раз. Сколько кругов пробежал за это время спортсмен, бегущий по короткой дорожке?

Добавить задание в избранное

Так как радиусы окружностей отличаются в два раза, то и их длины отличаются в два раза. При этом скорости спортсменов одинаковы и постоянны, следовательно, между моментами, когда спортсмены поравнялись в первый и во второй раз, спортсмен, бегущий по короткой дорожке, пробежал ровно два круга.

Аналогично между моментами, когда спортсмены поравнялись во второй и в третий раз и т.д. Всего таких ситуаций было \(10 - 1 = 9\), следовательно, за это время спортсмен, бегущий по короткой дорожке, пробежал \(2\cdot 9 = 18\) кругов.

Ответ: 18

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(А\) выбегает спортсмен и бежит по кругу. Спустя \(2\) минуты из точки \(А\) выбегает второй спортсмен и бежит в том же направлении, что и первый. Спустя ещё \(2\) минуты из точки \(А\) выбегает третий спортсмен и бежит в направлении, противоположном направлению первых двух спортсменов. Все спортсмены бегут с постоянной одинаковой скоростью. Третий спортсмен заметил, что между моментами встречи с первым и со вторым спортсменами всегда проходит ровно \(t\) минут. Найдите \(t\).

Добавить задание в избранное

Так как скорости спортсменов одинаковы и постоянны, то между первым и вторым спортсменами всегда сохраняется расстояние, которое любой спортсмен пробежит за \(2\) минуты.

Таким образом, после встречи первого и третьего спортсменов, но до встречи второго и третьего спортсменов второй и третий спортсмены вместе пробегают расстояние, которое любой из них преодолел бы за \(2\) минуты.

Скорость сближения второго и третьего спортсменов равна сумме их скоростей, то есть она в два раза больше, чем скорость любого спортсмена, следовательно, сближаются второй и третий спортсмены в два раза быстрее, чем за \(2\) минуты.

Ответ: \(t = 2 : 2 = 1\).

Ответ: 1

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(A\) выбегает спортсмен и бежит по кругу. Спустя \(2\) минуты из точки \(A\) выбегает второй спортсмен и бежит в том же направлении, что и первый. Спустя ещё \(2\) минуты из точки \(A\) выбегает третий спортсмен и бежит в направлении, противоположном направлению первых двух спортсменов. Все спортсмены бегут с постоянной одинаковой скоростью. Третий спортсмен впервые встретил первого спортсмена через \(1\) минуту. За какое минимальное время первый спортсмен может при этом пробегать круг? Ответ дайте в минутах.

Добавить задание в избранное

Если первый спортсмен пробегает круг быстрее, чем за \(2\) минуты, то вместе первый и третий спортсмен за минуту пробегают больше целого круга, следовательно, тогда третий спортсмен встретил бы первого раньше, чем через минуту. Таким образом, первый спортсмен не может пробегать круг быстрее, чем за \(2\) минуты.

Если при этом первый спортсмен пробегает круг за \(2\) минуты, то условие задачи выполняется, следовательно, ответ: \(2\).

Ответ: 2

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Два спортсмена стартуют одновременно в противоположных направлениях из двух диаметрально противоположных точек круговой дорожки, длина которой \(400\) метров. Первый бегун за час пробегает на \(1,4\) километра больше, чем второй, причём скорость первого бегуна в \(1,2\) раза больше, чем скорость второго. Найдите отношение часа ко времени, через которое бегуны встретятся впервые.

Добавить задание в избранное

Пусть \(v\, км/ч\) – скорость второго бегуна, тогда скорость первого бегуна равна \(1,2v = v + 1,4\), откуда \(v = 7\). Скорость сближения бегунов равна \(7 + 1,2\cdot 7 = 15,4\, км/ч\). Тогда разделяющие их \(0,2\, км\) они пробегут за \[\dfrac{0,2}{15,4} = \dfrac{1}{77}\, ч\,,\] следовательно, искомое отношение равно \[1 : \dfrac{1}{77} = 77\,.\]

Ответ: 77