Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по комбинаторике (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даны два числа \(N = {p_1}^{k_1}\cdot\dots\cdot {p_n}^{k_n}\) и \(M = N\cdot p_i\), где \(p_1, ..., p_n\) – простые числа, \(i\) – некоторое число из множества \(\{1, 2, ..., n\}\). Во сколько раз количество различных делителей числа \(M\) больше, чем количество различных делителей числа \(N\)?

Добавить задание в избранное

Все делители числа \(N\) равны \({p_1}^{a_1}\cdot\dots\cdot {p_n}^{a_n}\), где
\(a_1\) принимает одно из \(k_1 + 1\) значений (возможные значения: \(0\), \(1\), ..., \(k_1\))
\[\dots\] \(a_n\) принимает одно из \(k_n + 1\) значений.

При этом, если упорядоченные наборы \((b_1, \dots, b_n)\) и \((c_1, \dots, c_n)\) не совпадают, то числа \({p_1}^{b_1}\cdot\dots\cdot {p_n}^{b_n}\) и \({p_1}^{c_1}\cdot\dots\cdot {p_n}^{c_n}\) – различны.

Таким образом, у числа \(N\) столько же различных делителей, сколько существует различных упорядоченных наборов вида \((a_1, \dots, a_n)\), где \(a_1\) принимает одно из \(k_1 + 1\) значений, \(\dots\), \(a_n\) принимает одно из \(k_n + 1\) значений, то есть количество подходящих наборов равно \((k_1 + 1)\cdot\dots\cdot(k_i + 1)\cdot\dots\cdot(k_n + 1)\).

Аналогично, количество различных делителей числа \(M\) равно \((k_1 + 1)\cdot\dots\cdot(k_i + 2)\cdot\dots\cdot(k_n + 1)\), таким образом, искомое отношение равно \[\dfrac{(k_1 + 1)\cdot\dots\cdot(k_i + 2)\cdot\dots\cdot(k_n + 1)}{(k_1 + 1)\cdot\dots\cdot(k_i + 1)\cdot\dots\cdot(k_n + 1)} = \dfrac{k_i + 2}{k_i + 1}.\]

Ответ:

\(\dfrac{k_i + 2}{k_i + 1}\)