Задачи на клетчатой бумаге (страница 5)

Отметим точки и проведем отрезки, как показано на рисунке:



Заметим, что точки \(O, K, L\) находятся в узлах решетки и образуют прямоугольный \(\triangle OKL\), который к тому же является равнобедренным. Следовательно, \(\angle KOL=45^\circ\).
\(\angle AOB=90^\circ\). Следовательно, \(\angle AOC=135^\circ\).
Таким образом, закрашенный сектор составляет \(135:360=3:8\) части от всего круга, значит, его площадь равна \[\dfrac 38\cdot 16=6\]

Ответ: 6

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ANL\):



Все точки \(A, N, L\) лежат в узлах решетки, \(NL\) – гипотенуза этого треугольника и сторона квадрата. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то \[S=NL^2=AN^2+AL^2=2^2+7^2=53\]

Ответ: 53

Продлим одну из сторон тупого угла \(A\) на отрезок \(AC\) так, чтобы \(BC\perp AC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=4, BC=3\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как косинус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то \[\cos \angle BAC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45=0,8\] Угол \(BAC\) с тупым углом \(A\) – смежные, следовательно, их косинусы противоположны, значит, косинус тупого угла \(A\) равен \(-0,8\).

Ответ: -0,8

Отметим точки \(A, B, C\), проведем отрезок \(BC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=4, BC=3\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac35=0,6\]

Ответ: 0,6

Пусть \(O\) – центр окружности.



Пусть сторона клетки равна \(1\). Точки \(O\) и \(A\) находятся в узлах решетки, причем \(AO\) – гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника \(AOK\) (с катетами \(2\)). Следовательно, \(\angle AOK=\angle OAK=45^\circ\).
\(\angle AOC=\angle AOK=45^\circ\) – центральный угол, опирающийся на хорду \(AC\). Тогда градусная мера дуги \(AC\) также равна \(45^\circ\).

Ответ: 45

Пусть \(O\) – центр окружности.



Пусть сторона клетки равна \(1\). Точки \(O\), \(C\) и \(A\) находятся в узлах решетки, причем \(AO\) – гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами \(2\), следовательно, \(AO=2\sqrt2\). \(AO=CO\) – радиусы окружности. \(AC=4\).
Заметим, что \(AO^2+CO^2=AC^2\), следовательно, по обратной теореме Пифагора, \(\angle AOC=90^\circ\). Это центральный угол, опирающийся на хорду \(AC\). Тогда вписанный угол \(ABC\), опирающийся на эту же хорду, равен половине \(\angle AOC\), то есть \(45^\circ\).

Ответ: 45

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, ищется по формуле \(r=(a+b-c):2\), где \(a, b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза, то \[r=\dfrac{3+4-\sqrt{3^2+4^2}}2=1\]

Ответ: 1