6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II
\(\blacktriangleright\) Помним, что каждая клетка представляет собой квадрат.
\(\blacktriangleright\) В равных прямоугольниках равны диагонали.
\(\blacktriangleright\) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
И наоборот: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла \(30^\circ\) (рис. 1).
\(\blacktriangleright\) Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой (рис. 2).
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Опишем вокруг трапеции прямоугольник, как показано на рисунке:
Тогда для того, чтобы найти площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади трех прямоугольных треугольников: \[S=6\cdot 7-\left(\dfrac12\cdot 6\cdot 6+\dfrac12\cdot 1\cdot 3+\dfrac12
\cdot 3\cdot 3\right)=18\]
Ответ: 18
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен угол. Найдите синус этого угла.
Продлим одну из сторон тупого угла \(A\) на отрезок \(AC\) так, чтобы \(BC\perp
AC\):
Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=3, BC=4\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle BAC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac45=0,8\] Угол \(BAC\) с тупым углом \(A\) – смежные, следовательно, их синусы равны, значит, синус тупого угла \(A\) равен также \(0,8\).
Ответ: 0,8
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины \(B\).
Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный (\(BA=BC\)). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины \(B\), будет также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса \(BH\) равна \(3\):
Ответ: 3
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен угол. Найдите тангенс этого угла.
Проведем перпендикуляр \(BH\) к стороне \(OA\). Получим прямоугольный треугольник \(OBH\). Из него \(\mathrm{tg}\,\angle O=BH:OH=3:5=0,6\).
Ответ: 0,6
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен угол. Найдите его градусную величину.
Отметим точки \(A, B, C, D\) и рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\):
\(AC=BC=3\) – катеты, следовательно, треугольник равнобедренный, значит, \[\angle BAD=\angle BAC=45^\circ\]
Ответ: 45
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см отмечены точки \(A\) и \(B\). Найдите длину отрезка \(AB\) в сантиметрах.
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\):
Катеты \(AC\) и \(BC\) равны соответственно \(9\) и \(12\), следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза \(AB\) равна \[AB=\sqrt{9^2+12^2}=15\]
Ответ: 15
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Отметим точки \(A, B, C\) и проведем отрезок \(CH\), как показано на рисунке:
Заметим, что \(CH\perp AB\). Следовательно, площадь треугольника равна \[S=\dfrac12\cdot AB\cdot CH=\dfrac12\cdot 9\cdot 5=22,5\]
Ответ: 22,5
