6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II
\(\blacktriangleright\) Помним, что каждая клетка представляет собой квадрат.
\(\blacktriangleright\) В равных прямоугольниках равны диагонали.
\(\blacktriangleright\) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
И наоборот: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла \(30^\circ\) (рис. 1).
\(\blacktriangleright\) Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой (рис. 2).
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине его гипотенузы, то есть радиус этой окружности равен половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна \(5\). Следовательно, радиус равен \(2,5\).
Ответ: 2,5
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.
Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна \(5\). Следовательно, медиана (она же биссектриса) равна \(2,5\).
Ответ: 2,5
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его высоты, выходящей из вершины прямого угла.
Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна \(5\). Следовательно, медиана (она же высота) равна \(2,5\).
Ответ: 2,5
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) отмечены точки \(A,
B, C\). Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\).
Проведем прямую \(BC\) и перпендикуляр \(AH\):
Из рисунка видно, что \(AH=4\).
Ответ: 4
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен ромб. Найдите его площадь.
Проведем диагонали данного ромба:
Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно, \[S=\dfrac12\cdot 4\cdot 6=12\]
Ответ: 12
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Большее основание равно \(11\), меньшее равно \(5\), следовательно, средняя линия равна \((11+5):2=8\).
Ответ: 8
На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
Отметим точки \(A, B, C, E\):
\(BE\perp AC\), причем \(BE=9\). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры – это и высоты, и медианы, и биссектрисы.
То есть центр описанной окружности лежит на высоте \(BE\), которая также является и медианой. Пусть \(O\) – центр этой окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \(OB:OE=2:1\), откуда \[OB=\dfrac23BE=6\] Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника, то есть \(OB\). Таким образом, радиус равен \(6\).
Ответ: 6
