9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Выражение \(\left(f(x)\right)^{g(x)}\) имеет смысл только при \(f(x)>0\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline g=g(x), h=h(x) &\\ &\\ a^0=1 &a^1=a\\ a^{gh}=(a^g)^h &a^g\cdot a^h=a^{g+h}\\ \dfrac{a^g}{a^h}=a^{g-h}&a^{-g}=\dfrac{1}{a^g}\\ a^g\cdot b^g=(a\cdot b)^g &\\ a^{\frac{g}{n}}=\sqrt[n]{a^g} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^g}{b^g}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^g\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, n\in\mathbb{N}&\\ \hline \end{array}}\]
Найдите значение выражения \((13u^2v^3 - 70 (uv^{1,5})^2) : (u^3v^2)\) при \(u = 20, \ v = 2\).
При \(uv \neq 0\) имеем: \[(13u^2v^3 - 70 (uv^{1,5})^2) : (u^3v^2) = (13u^2v^3 - 70u^2v^3) : (u^3v^2) = \dfrac{-57u^2v^3}{u^3v^2} = \dfrac{-57v}{u}.\] При \(u = 20, \ v = 2\) справедливо \(uv \neq 0\) и \[\dfrac{-57v}{u} = \dfrac{-57 \cdot 2}{20} = -5,7.\]
Ответ: -5,7
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\left(\sqrt[p^2 - p + 1]{x^{p^3 + 1}}\right)^{p - 1}}{x^{p^2}}\) при \(x = 0,125\), \(p = 117\).
\[\begin{gathered} \frac{\left(\sqrt[p^2 - p + 1]{x^{p^3 + 1}}\right)^{p - 1}}{x^{p^2}} = \frac{x^{\frac{p^3 + 1}{p^2 - p +1}\cdot(p - 1)}}{x^{p^2}} = x^{\frac{(p + 1)(p^2 - p + 1)(p - 1)}{p^2 - p + 1} - p^2} =\\= x^{p^2 - 1 - p^2} = x^{-1} = (0,125)^{-1} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-1} = 8\end{gathered}\]
Ответ: 8
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt[6]{a^7}}{\sqrt[24]{b^{-26}}}\cdot\frac{\left(\sqrt[5]{a^{\frac{4}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(\sqrt[5]{a^4}\right)^3}\cdot\frac{\left(\sqrt{a\sqrt[3]{a^2b}}\right)^4}{\left(\sqrt[4]{a\sqrt{b}}\right)^6}\), если \(a = 3\), \(b = 2\).
\[\begin{gathered} \frac{\sqrt[6]{a^7}}{\sqrt[24]{b^{-26}}}\cdot\frac{\left(\sqrt[5]{a^{\frac{4}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(\sqrt[5]{a^4}\right)^3}\cdot\frac{\left(\sqrt{a\sqrt[3]{a^2b}}\right)^4}{\left(\sqrt[4]{a\sqrt{b}}\right)^6} = \frac{a^{\frac{7}{6}}}{b^{-\frac{26}{24}}}\cdot\frac{((a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{5}})^{\frac{3}{2}}}{((a^4)^{\frac{1}{5}})^3}\cdot\frac{((a\cdot(a^2b)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}})^4}{((ab^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}})^6} = \frac{a^{\frac{7}{6}}}{b^{-\frac{13}{12}}}\cdot\frac{a^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{2}}}{a^{4\cdot\frac{1}{5}\cdot3}}\cdot\frac{(a\cdot a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}\cdot4}}{(ab^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}\cdot6}} =\\= \frac{a^{\frac{7}{6}}}{b^{-\frac{13}{12}}}\cdot\frac{a^{\frac{2}{5}}}{a^{\frac{12}{5}}}\cdot\frac{(a^{\frac{2}{3} + 1}b^{\frac{1}{3}})^2}{(ab^{\frac{1}{2}})^{\frac{6}{4}}} = \frac{a^{\frac{7}{6}}}{b^{-\frac{13}{12}}}\cdot\frac{a^{\frac{2}{5}}}{a^{\frac{12}{5}}}\cdot\frac{a^{\frac{10}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{4}}} = a^{\frac{7}{6} + \frac{2}{5} + \frac{10}{3} - \frac{12}{5} - \frac{3}{2}}b^{-\left(-\frac{13}{12}\right) + \frac{2}{3} - \frac{3}{4}} = ab = 3\cdot2 = 6\end{gathered}\]
Ответ: 6
Найдите значение выражения \(2^x + 2^{-x}\), если \(4^x + 4^{-x} = 23\).
Возведем исходное выражение в квадрат: \[(2^x + 2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2\cdot2^x\cdot2^{-x} + 2^{-2x} = 4^x + 4^{-x} + 2 = 23 + 2 = 25\] \(\Rightarrow\) \(2^x + 2^{-x} = \sqrt{25} = 5\).
Ответ: 5
© 2024 Все права защищены | Карта сайта
Политика конфиденциальности
Пользовательское соглашение
