9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Найдите значение выражения \(w(3t^2 - 13) - 32\) при \(t = -2\), если \(w(z) = z^3 - z + 1\).
При \(t = -2\) выражение \(3t^2 - 13\) принимает значение \(12 - 13 = -1\), следовательно, требуется найти \(w(-1) - 32\).
Так как \(w(z) = z^3 - z + 1\), то при \(z = -1\) получим: \[w(-1) = (-1)^3 - (-1) + 1 = 1\qquad\Rightarrow\qquad w(-1) - 32 = 1 - 32 = -31.\]
Ответ: -31
Найдите значение выражения \[{\large{\log_{\frac1{\sqrt3}}\left(2\cdot \mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}6\right)- \log_{\frac1{\sqrt3}}\left(1-\mathrm{tg}^2\,\dfrac{\pi}6\right)}}\]
\[{\large{\begin{aligned} &\log_{\frac1{\sqrt3}}\left(2\cdot\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}6\right)- \log_{\frac1{\sqrt3}}\left(1-\mathrm{tg}^2\,\dfrac{\pi}6\right)=\\[2ex] &=\log_{\frac1{\sqrt3}} \dfrac{2\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}6}{1-\mathrm{tg}^2\,\dfrac{\pi}6}= \log_{\frac1{\sqrt3}}\mathrm{tg}\,\left(2\cdot \dfrac{\pi}6\right)=\\[2ex] &=\log_{\frac1{\sqrt3}}\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}3=\log_{\frac1{\sqrt3}}\sqrt3=-1 \end{aligned}}}\]
Ответ: -1
Найдите значение выражения \(\omega(2017^2) + \omega(-2017^2) + 15\), если \(\omega(\xi) = \sin \xi + \xi^{2017} + \xi^{2015} - \xi^{2013}\).
Так как \(\omega(\xi) = \sin \xi + \xi^{2017} + \xi^{2015} - \xi^{2013}\), то при любом числе \(\xi\) для числа \(-\xi\) имеем:
\(\omega(-\xi) = \sin (-\xi) + (-\xi)^{2017} + (-\xi)^{2015} - (-\xi)^{2013} = -\sin \xi - \xi^{2017} - \xi^{2015} +\xi^{2013} =\)
\(= -(\sin \xi + \xi^{2017} + \xi^{2015} - \xi^{2013}) = -\omega(\xi).\)
Тогда и для числа \(\xi = 2017^2\) выполнено \(\omega(-2017^2) = -\omega(2017^2)\), откуда \[\omega(2017^2) + \omega(-2017^2) + 15 = \omega(2017^2) -\omega(2017^2) + 15 = 15.\]
Ответ: 15
Найдите значение выражения \(a^4 + a^2b^2 + b^4\), если \(a\) и \(b\) – различные корни уравнения \(x^2 - \sqrt[4]{7}x - 3\sqrt{7} = 0\).
Выражение \(a^4 + a^2b^2 + b^4\) представляет собой неполный квадрат суммы \(a^2\) и \(b^2\). Тогда \[a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - a^2b^2\,.\] При этом \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\), тогда \[a^4 + a^2b^2 + b^4 = ((a + b)^2 - 2ab)^2 - a^2b^2\,.\]
По теореме Виета: \(a + b = \sqrt[4]{7}\), \(ab = -3\sqrt{7}\), тогда \[a^4 + a^2b^2 + b^4 = \bigl((\sqrt[4]{7})^2 - 2\cdot(-3\sqrt{7})\bigr)^2 - (-3\sqrt{7})^2 = (7\sqrt{7})^2 - (-3\sqrt{7})^2 = 280\,.\]
Ответ: 280
Найдите значение выражения \(u + v - 4w + 1\), если \(3u + w = 15, \ 6v - 26w = 36\).
\(3u + w = 15\) равносильно \(u = 5 - \dfrac{w}{3}\).
\(6v - 26w = 36\) равносильно \(v = 6 + \dfrac{13}{3}w\).
Тогда, подставив эти выражения в исходное, получим: \[u + v - 4w + 1 = 5 - \dfrac{w}{3} + 6 + \dfrac{13}{3}w - 4w + 1 = 12.\]
Ответ: 12
Найдите значение выражения \[\dfrac 1{1+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2+\sqrt3}+\dots+\dfrac 1{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\]
Умножим каждую дробь на сопряженное к ее знаменателю:
\(\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}+ \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}+\dots+ \dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{100}+\sqrt{99})(\sqrt{100}-\sqrt{99})}=\)
\(=\dfrac{\sqrt2-1}{2-1}+ \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}+\dots+ \dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}=\)
\(=\sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+\sqrt4-\sqrt3+\dots+ \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
Заметим, что все слагаемые, кроме \(-1\) и \(\sqrt{100}\), взаимно уничтожатся, то есть значение этого выражения равно
\[-1+\sqrt{100}=-1+10=9\]
Ответ: 9
Вычислить \(\log_4\log_2\underbrace{\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{16}}}}_{40}\)
Т.к. \(\sqrt{\sqrt a}=\sqrt[2^2]a=a^{\frac 1{2^2}}\), \(\sqrt{\sqrt{\sqrt a}}=\sqrt[2^3]a=a^{\frac 1{2^3}}\), то
\[\underbrace{\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{16}}}}_{40}=\sqrt[2^{40}]{16}= \sqrt[2^{40}]{2^4}=2^{\frac4{2^{40}}}=2^{\frac 1{2^{38}}}\]
Значит,
\[\log_4\log_2\left(2^{\frac1{2^{38}}}\right)= \log_4\left(\frac1{2^{38}}\right)= \log_{2^2}\left(2^{-38}\right)=\dfrac{-38}2=-19\]
Ответ: -19
