Решите неравенство \[\dfrac1{x^2-4}+\dfrac4{2x^2+7x+6}\leqslant \dfrac1{2x+3}+\dfrac4{2x^3+3x^2-8x-12}\]
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.
Разложим на множители выражения \(2x^2+7x+6 \ \) и \( \ 2x^3+3x^2-8x-12\).
Решим сначала уравнение \[2x^2+7x+6=0 \quad \Rightarrow \quad
x_1=-2\quad\text{и}\quad x_2=-\dfrac32.\] Тогда выражение можно переписать в виде \[2x^2+7x+6=2\left(x+\frac32\right)(x+2)=(2x+3)(x+2).\]
Решим уравнение \[2x^3+3x^2-8x-12=0\] Оно является кубическим. Т.к. остальные знаменатели содержат скобки \((x-2)\), \((x+2)\), \((2x+3)\), то попробуем найти корень этого уравнения среди чисел \(2, -2, -\frac32\). Для этого подставим каждое число в уравнение и проверим, обращается ли оно в верное тождество. \[\begin{aligned} &2\cdot2^3+3\cdot 2^2-8\cdot 2-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\\[2ex] &2\cdot (-2)^3+2\cdot (-2)^2-8\cdot (-2)-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\\[2ex] &2\cdot \left(-\frac32\right)^3+3\cdot \left(-\frac32\right)^2-8\cdot \left(-\frac32\right)-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0 \end{aligned}\]
Таким образом, каждое из чисел \(2, -2, -\frac32\) является корнем уравнения \(2x^3+3x^2-8x-12=0\). А т.к. это уравнение может иметь максимум 3 корня, то это и есть все его корни, то есть выражение \[2x^3+3x^2-8x-12=2(x-2)(x+2)\left(x+\frac32\right)=(x-2)(x+2)(2x+3).\]
Таким образом, неравенство принимает вид: \(\dfrac1{(x+2)(x-2)}+\dfrac4{(x+2)(2x+3)}\leqslant \dfrac1{2x+3}+ \dfrac4{(x-2)(x+2)(2x+3)} \quad \Rightarrow\) \(\Rightarrow \quad \dfrac{-x^2+6x-5}{(x-2)(x+2)(2x+3)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x+2)(2x+3)}\geqslant 0\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Следовательно, решением неравенства будут \(x\in \left(-2;-\frac32\right)\cup\left[1;2\right)\cup[5;+\infty)\).
Ответ:
\(\left(-2;-\frac32\right)\cup\left[1;2\right)\cup[5;+\infty)\)