Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение рациональных неравенств (страница 5)

\(\blacktriangleright\) Рациональное неравенство – это неравенство, которое можно свести к виду \[\large{\dfrac{P(x)}{Q(x)}\geqslant 0} \quad (*)\] где \(P(x),\ Q(x)\) – многочлены.
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant, \ >,\ <\))

 

Способы решения данного неравенства:

 

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности:

\[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} P(x)\geqslant 0\\ Q(x)>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} P(x)\leqslant 0\\ Q(x)<0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере):

 

1 ШАГ. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

 

Пусть после разложения неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)(2x^2+3x+5)(2x-x^2-3)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \geqslant0\] Помним, что если квадратное уравнение:

 

\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (дискриминант \(D>0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

 

\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (\(D=0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).

 

\(\sim\) не имеет корней (\(D<0\)), то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю, соответственно, не разлагается на линейные множители.

 

2 ШАГ. Рассмотрим скобки, в которых находится квадратный трехчлен с \(D<0\).

 

Если при \(x^2\) находится положительный коэффициент, то эти скобки можно вычеркнуть (в нашем неравенстве это \((2x^2+3x+5)\)).

 

Если при \(x^2\) находится отрицательный коэффициент, то при вычеркивании такой скобки знак неравенства меняем на противоположный (в нашем неравенстве это \((2x-x^2-3)\)).
Заметим, что если таких скобок несколько, то вычеркиваем их последовательно по одной, каждый раз меняя знак неравенства на противоположный.

 

Таким образом, неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \leqslant0\]

3 ШАГ. Рассмотрим линейные скобки.

 

Назовем скобку хорошей, если при \(x\) находится положительный коэффициент (такие скобки не трогаем), и плохой, если при \(x\) находится отрицательный коэффициент (в таких скобках меняем все знаки на противоположные, т.е. делаем их хорошими).

 

Если плохих скобок было четное количество, то знак неравенства не изменится, если нечетное – то знак неравенства изменится на противоположный.

 

В нашем неравенстве одна скобка \((3-x)\) и две скобки \((2-3x)\) (т.к. \((2-3x)^2=(2-3x)(2-3x)\)), т.е. всего три плохих скобки, следовательно, неравенство примет вид: \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(x-3)(3x-2)^2} \geqslant0\quad (**)\]

4 ШАГ. Отметим нули каждой скобки на числовой прямой, причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как у нас) или выколотые (если знак неравенства строгий).

 

Если мы отметили \(n\) точек, то числовая прямая разобьется на \(n+1\) промежутков.

 

Расставим знак на каждом промежутке справа налево.

 

Т.к. все скобки – хорошие, то первый знак всегда будет \("+"\). Если какая-то точка входит в четное количество скобок, то при переходе через нее (справа налево!) знак меняться не будет (например, точка \(-1\) входит в четное количество скобок: одна в числителе и три в знаменателе);

 

если точка входит в нечетное количество скобок, то знак будет меняться (единственная точка \(3\)).

 

5 ШАГ. Запишем ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((**)\) неравенства \(\geqslant 0\), то в ответ пойдут промежутки со знаком \("+"\) и закрашенные точки: \[x\in (-\infty;-1)\cup \left(-1;\frac23\right)\cup \left(\dfrac23;1\right]\cup(3;+\infty)\]

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac1{x^2-4}+\dfrac4{2x^2+7x+6}\leqslant \dfrac1{2x+3}+\dfrac4{2x^3+3x^2-8x-12}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Добавить задание в избранное

Разложим на множители выражения \(2x^2+7x+6 \ \) и \( \ 2x^3+3x^2-8x-12\).
Решим сначала уравнение \[2x^2+7x+6=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=-2\quad\text{и}\quad x_2=-\dfrac32.\] Тогда выражение можно переписать в виде \[2x^2+7x+6=2\left(x+\frac32\right)(x+2)=(2x+3)(x+2).\]

Решим уравнение \[2x^3+3x^2-8x-12=0\] Оно является кубическим. Т.к. остальные знаменатели содержат скобки \((x-2)\), \((x+2)\), \((2x+3)\), то попробуем найти корень этого уравнения среди чисел \(2, -2, -\frac32\). Для этого подставим каждое число в уравнение и проверим, обращается ли оно в верное тождество. \[\begin{aligned} &2\cdot2^3+3\cdot 2^2-8\cdot 2-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\\[2ex] &2\cdot (-2)^3+2\cdot (-2)^2-8\cdot (-2)-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\\[2ex] &2\cdot \left(-\frac32\right)^3+3\cdot \left(-\frac32\right)^2-8\cdot \left(-\frac32\right)-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0 \end{aligned}\]

Таким образом, каждое из чисел \(2, -2, -\frac32\) является корнем уравнения \(2x^3+3x^2-8x-12=0\). А т.к. это уравнение может иметь максимум 3 корня, то это и есть все его корни, то есть выражение \[2x^3+3x^2-8x-12=2(x-2)(x+2)\left(x+\frac32\right)=(x-2)(x+2)(2x+3).\]

Таким образом, неравенство принимает вид:   \(\dfrac1{(x+2)(x-2)}+\dfrac4{(x+2)(2x+3)}\leqslant \dfrac1{2x+3}+ \dfrac4{(x-2)(x+2)(2x+3)} \quad \Rightarrow\)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{-x^2+6x-5}{(x-2)(x+2)(2x+3)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x+2)(2x+3)}\geqslant 0\)  

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Следовательно, решением неравенства будут \(x\in \left(-2;-\frac32\right)\cup\left[1;2\right)\cup[5;+\infty)\).

Ответ:

\(\left(-2;-\frac32\right)\cup\left[1;2\right)\cup[5;+\infty)\)

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^5 + 4x^3 - 5x}{x^3 + 5x - 42} \leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^3 + 5x - 42 \neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^5 + 4x^3 - 5x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x(x^4 + 4x^2 - 5) = 0\] Решим уравнение \(x^4 + 4x^2 - 5 = 0\) при помощи замены \(x^2 = t\geqslant 0\): \[t^2 + 4t - 5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = -2 \pm 3,\] откуда \(x^2 = 1\), следовательно, \(x = \pm 1\).

 

Найдём нули знаменателя: \[x^3 + 5x - 42 = 0\] Можно угадать корень \(x = 3\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(x - x_0\), где \(x_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} x^3+0x^2+5x-42&&\negthickspace\underline{\qquad x-3 \qquad}\\ \underline{x^3 - 3x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ x^2 + 3x + 14\\[-3pt] 3x^2 + 5x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{3x^2 - 9x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 14x - 42 &&\\ \underline{14x - 42}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Так как \[x^2 + 3x + 14 = (x + 1,5)^2 + 11,75 > 0\,,\] то полное разложение знаменателя на множители: \[x^3 + 5x - 42 = (x - 3)(x^2 + 3x + 14)\]

По методу интервалов



откуда ответ с учётом ОДЗ:\[x\in[-1; 0]\cup[1; 3)\,.\]

Ответ:

\([-1; 0]\cup[1; 3)\)

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^3 - 3\pi x^2 + 3\pi^2 x - \pi^3}{x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e} > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e\neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^3 - 3\pi x^2 + 3\pi^2 x - \pi^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - \pi)^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pi\]

Найдём нули знаменателя:

\[\begin{aligned} &x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(x + 2e) + 3(x + 2e) = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 + 3)(x + 2e) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -2e\,. \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\in\mathbb{R}\) выполнено \(x^2 + 3 > 0\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - \pi)^3}{x + 2e} > 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



таким образом, с учётом ОДЗ ответ: \[x\in(-\infty; -2e)\cup(\pi; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; -2e)\cup(\pi; +\infty)\)

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + 3x^2 -2\sqrt{2}x + 2 + 2\bigl(-2x(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} + 1)^2\bigr)\leqslant 2. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[x\neq \sqrt{2}.\] Преобразуем исходное неравенство:

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + 3x^2 -2\sqrt{2}x + 2 + 2\bigl(-2x(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} + 1)^2\bigr)\leqslant 2\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&\dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + (x^2 -2\sqrt{2}x + 2) + 2\bigl(x^2 - 2x(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} + 1)^2\bigr)\leqslant 2\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&\dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2 + 2\bigl(x - (\sqrt{2} + 1)\bigr)^2\leqslant 2. \end{aligned}\]

Покажем, что при любом \(x\neq \sqrt{2}\) выполнено \[\dfrac{1}{(x - \sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2\geqslant 2,\] причём равенство достигается только при \(x = \pm 1 + \sqrt{2}\):

 

при \(x\neq \sqrt{2}\):

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{(x - \sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2\geqslant 2 \qquad\Leftrightarrow\qquad 1 + (x - \sqrt{2})^4 - 2(x - \sqrt{2})^2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \bigl((x - \sqrt{2})^2\bigr)^2 - 2\cdot(x - \sqrt{2})^2 + 1\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad ((x - \sqrt{2})^2 - 1)^2\geqslant 0, \end{aligned}\]

что верно при всех допустимых \(x\). Равенство имеет место только при \((x - \sqrt{2})^2 = 1\) (это легко проверить аналогичным способом).

 

Таким образом, при всех \(x\neq \sqrt{2}\) выполнено \[\dfrac{1}{(x - \sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2\geqslant 2,\] причём равенство достигается только при \((x - \sqrt{2})^2 = 1\), то есть при \(x = \pm 1 + \sqrt{2}\).

Так как при любом \(x\) выполнено \(2\bigl(x - (\sqrt{2} + 1)\bigr)^2\geqslant 0\), то с учётом доказанного утверждения неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2 + 2\bigl(x - (\sqrt{2} + 1)\bigr)^2\leqslant 2 \end{aligned}\]

может выполняться только при \(x = \pm 1 + \sqrt{2}\).
При \(x = 1\) имеем:

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{1} + 1 + 0\leqslant 2 \end{aligned}\]

– верно.
При \(x = -1\) имеем:

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{1} + 1 + 8\leqslant 2 \end{aligned}\]

– неверно.

В итоге, ответ: \[x = 1 + \sqrt{2}.\]

Ответ:

\(1 + \sqrt{2}\)

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В неравенстве

\[\begin{aligned} \dfrac{(-x - A)(x - B)}{(x + C)(x^2 + D)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

расставьте вместо \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) числа \(-1\), \(1\), \(0\), \(2\) так, чтобы ответом полученного неравенства служило множество \((-\infty; -2)\cup\{-1\}\). Приведите хотя бы один способ расстановки.

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x\neq -C\\ x^2 + D\neq 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Умножая исходное неравенство на \(-1\), получим равносильное неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + A)(x - B)}{(x + C)(x^2 + D)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Покажем, что, например, подходит неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + 1)(x - (-1))}{(x + 2)(x^2 + 0)}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{(x + 1)^2}{x^2(x + 2)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = -1\]

2) Найдём нули знаменателя: \[x^2(x + 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -2\\ x = 0 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда и получаем требуемый ответ \[x\in(-\infty; -2)\cup\{-1\}\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\(A = 1,\, B = -1,\, C = 2,\, D = 0\)

Задание 34
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В неравенстве

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)\cdot f(x)}{(x + 1)(x^2 - e)} > 0 \end{aligned}\]

вставьте вместо \(f(x)\) функцию, определённую на \(\mathbb{R}\) такую, чтобы ответом полученного неравенства служило множество \((-\infty; -2)\). Приведите хотя бы один пример такой \(f(x)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x\neq -1\\ x^2 - e\neq 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Покажем, что в качестве искомой функции подходит \(f(x) = -(x - 1)(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)\):

исходное неравенство примет вид

\[\begin{aligned} -\dfrac{(x - 1)(x - 1)(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)}{(x + 1)(x^2 - e)} > 0\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{(x - 1)^2(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)}{(x + 1)(x^2 - e)} < 0 \end{aligned}\]

Последнее неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)^2(x + 2)}{1} < 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - 1)^2(x + 2) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = -2\]

2) Знаменатель нигде не обращается в \(0\).

По методу интервалов:



откуда \(x\in(-\infty; -2)\,.\) Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим требуемое: \[x\in(-\infty; -2)\,.\]

Ответ:

\(f(x) = -(x - 1)(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)\)

Задание 35
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 2)(x - 2^2)\cdot...\cdot(x - 2^{2016})}{(x - 4)(x - 4^2)\cdot ...\cdot (x - 4^{1008})}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 4\neq 0\\ x - 4^2\neq 0\\ \dots\\ x - 4^{1008}\neq 0 \end{cases}\] Так как \(2^{2k} = 4^k\), то на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} (x - 2)(x - 2^3)(x - 2^5)\cdot...\cdot(x - 2^{2015})\leqslant 0 \label{Res} \end{aligned}\]

Заметим, что количество скобок, участвующих в произведении – чётно (в произведении участвуют скобки вида \((x - 2^{2n - 1})\), где \(n\) пробегает всевозможные натуральные значения от \(1\) до \(1008\), то есть, скобок \(1008\)).

 

Решим последнее неравенство на ОДЗ методом интервалов. Для этого найдём нули левой части.

\[\begin{aligned} (x - 2)(x - 2^3)\cdot...\cdot(x - 2^{2015}) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули левой части: \[x = 2,\qquad x = 2^3,\qquad ..,\qquad x = 2^{2015}.\]

По методу интервалов:



Здесь знаки чередуются.

При \(x > 2^{2016}\) выражение  положительно, тогда при учёте чётности количества скобок и того, что кратность каждого корня в произведении равна \(1\), получаем, что при \(x < 2\) выражение  также положительно, откуда \[x\in [2; 2^2)\cup(2^2; 2^3]\cup[2^5; 2^6)\cup(2^6; 2^7]\cup ...\cup [2^{2013}; 2^{2014})\cup(2^{2014}; 2^{2015}].\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\([2; 2^2)\cup(2^2; 2^3]\cup[2^5; 2^6)\cup(2^6; 2^7]\cup ...\cup [2^{2013}; 2^{2014})\cup(2^{2014}; 2^{2015}]\)

1 .... 4 5 6