Смешанные уравнения (страница 2)

Т.к. значение косинуса любого угла принадлежит промежутку \([-1;1]\), то при всех значениях \(x\):

\[\begin{aligned} &(\cos 4x+\cos 2x)^2\leqslant 4\\ &5-|\cos3x|\geqslant 4 \end{aligned}\]

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы

\[\begin{cases} (\cos 4x+\cos 2x)^2=4\\ 5-|\cos3x|= 4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\cos 4x+\cos 2x=2\\ &\cos 4x+\cos 2x=-2 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ \cos3x= \pm1 \end{cases}\]

Опять же, в силу ограниченности косинуса \(-2\leqslant\cos 4x+\cos 2x\leqslant 2\), следовательно, уравнение \(\cos 4x+\cos 2x=2\) равносильно системе \(\begin{cases} \cos 4x=1\\ \cos2x=1 \end{cases}\)

Аналогично с уравнением \(\cos 4x+\cos 2x=-2\). Тогда вся система примет вид:

\[\begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} \cos 4x=1\\ \cos2x=1 \end{cases}\\ &\begin{cases} \cos 4x=-1\\ \cos2x=-1 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ \cos3x= \pm1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\pi n\\ &x\in \varnothing \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x=\dfrac{\pi}3 k \end{cases} \quad n,k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x=\pi n, n \in\mathbb{Z}\]

Ответ:

\(\pi n, n \in\mathbb{Z}\)

Заметим, что уравнение можно переписать в виде

\[(3^{3x}-9\cdot 3^{2x}-3^x+9)^2+(3^{3x}+3\cdot 3^{2x}-3^x-3)^4=0\]

С помощью замены переменной \(t=3^x\) (\(t>0\)) данное уравнение сводится к виду

\[(t^3-9t^2-t+9)^2+(t^3+3t^2-t-3)^4=0\]

Заметим, что в левой части стоит сумма двух неотрицательных выражений, которая является также неотрицательной. Значит, левая часть может быть равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю, то есть

\[\begin{cases} t^3-9t^2-t+9=0\\ t^3+3t^2-t-3=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} t^2(t-9)-(t-9)=0\\ t^2(t+3)-(t+3)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \quad \begin{cases} (t-9)(t-1)(t+1)=0\\ (t+3)(t-1)(t+1)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \ t=\pm 1\]

Т.к. \(t>0\), то подходит только \(t=1 \quad \Rightarrow \quad 3^x=1\quad \Rightarrow \quad x=0\).

Ответ:

\(x\in \{0\}\)

Преобразуем уравнение

\[5^x\cdot 2^{\frac{x+2}2}=5\cdot 2^3 \quad \Leftrightarrow \quad 5^x\cdot 5^{-1}=2^3\cdot 2^{-\frac{x+2}x}\quad \Leftrightarrow \quad 5^{x-1}=2^{\frac{2(x-1)}x}\quad \Leftrightarrow \quad 5^{x-1}=4^{\frac{x-1}x}\]

Т.к. обе части равенства представляют собой положительные выражения (по свойству показательной функции), то возьмем логарифм по основанию \(5\) от обеих частей:

\[(x-1)\cdot \log_55=\dfrac{x-1}x\cdot \log_54 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-x(1+\log_54)+\log_54=0 \quad (\text{т.к. }x\ne 0)\]

По теореме Виета корнями данного уравнения являются \(x_1=1, \ x_2=\log_54\).

Ответ:

\(x\in\{\log_54; 1\}\)

Т.к. область значений косинуса — отрезок \([-1;1]\), то для любого \(x\) имеем: \(-2\leqslant 2\cos(0,1x)\leqslant 2\).

Т.к. \(2^x+2^{-x}=2^x+\dfrac 1{2^x}\), то данное выражение представляет собой сумму двух положительных взаимно обратных чисел.
Такая сумма всегда \(\geqslant 2\) (см. теорию “Рациональные уравнения” из раздела “Решение уравнений. Часть I”).

Таким образом, левая часть уравнения всегда \(\leqslant 2\), а правая \(\geqslant 2\). Значит, два этих выражения могут быть равны тогда и только тогда, когда

\[\begin{cases} 2\cos(0,1x)=2\\ 2^x+\dfrac1{2^x}=2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \cos(0,1x)=1\\ 2^x=1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=20\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ x=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x=0\]

Ответ:

\(x\in \{0\}\)

Найдем ОДЗ данного уравнения:

\[\begin{cases} 2015-2016x\geqslant 0\\ 2017x-2016\geqslant 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\leqslant \dfrac{2015}{2016}\\[4pt] x\geqslant \dfrac{2016}{2017} \end{cases}\]

Сравним числа \(\dfrac{2015}{2016}\) и \(\dfrac{2016}{2017}\):

\[\dfrac{2015}{2016}\lor \dfrac{2016}{2017} \quad \Leftrightarrow \quad 1-\dfrac 1{2016} \lor 1-\dfrac1{2017} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac1{2016} \land \dfrac1{2017}\]

Т.к. \(\dfrac1{2016}>\dfrac1{2017}\), то \(\dfrac{2015}{2016}<\dfrac{2016}{2017}\).

Значит, ОДЗ: \(x\in \varnothing\).

Таким образом, уравнение не будет иметь корней, т.к. ни при каких \(x\) не определена его левая часть.

Ответ:

\(x\in\varnothing\)

1 способ.

\[\dfrac{x^2}{x-4}+1+\dfrac{2x}{x^2-4}+2=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2+x-4}{x-4}+2\cdot \dfrac{x+x^2-4}{x^2-4}=0 \quad\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \quad (x^2+x-4)\cdot \left(\dfrac1{x-4}+\dfrac2{x^2-4}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2+x-4=0\\[2ex] &x^2-4+2x-8=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ (x^2-4)(x-4)\ne 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}2\\[2ex] &x=-1\pm\sqrt{13} \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ x\ne \pm 2\\ x\ne 4 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}2\\[2ex] &x=-1\pm\sqrt{13} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

2 способ.
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на \(x\), так как \(x=0\) не является корнем уравнения:

\[\dfrac x{1-\frac4x}+2\cdot \dfrac1{x-\frac4x}+3=0\] Пусть \(\dfrac4x=b\). Тогда уравнение примет вид \[\dfrac x{1-b}+\dfrac2{x-b}+3=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2+3b^2-4bx-5b+3x+2}{(1-b)(x-b)}=0\] Рассмотрим числитель дроби: \[\begin{aligned} &(x^2+4b^2+1-4bx+2x-4b)-b^2+(x-b+1)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-2b+1)^2-b^2+(x-b+1)=0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x-2b+1-b)(x-2b+1+b)+(x-b+1)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-b+1)(x-3b+2)=0\end{aligned}\] Следовательно, исходное уравнение равносильно: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x-b+1=0\\ &x-3b+2=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ 1-b\ne 0\\ x-b\ne 0 \end{cases}\] Решим первое уравнение, сделав обратную подстановку \(\frac4x=b\): \[1. \quad x-\dfrac4x+1=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+x-4=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}2\] Решим второе уравнение: \[x-3\cdot \dfrac4x+2=0\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x-12=0 \quad \Leftrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{13}\] Сделав проверку, убеждаемся, что полученные корни не являются корнями уравнений \(1-\frac4x=0\) и \(x-\dfrac4x=0\).

Ответ:

\(x=-1\pm\sqrt{13}; \ x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}2\)

Прибавим к обеим частям каждого уравнения системы единицу: \[\begin{cases} x+y+xy+1=2\\ x+z+xz+1=2\\ y+z+yz+1=2 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} (x+1)(y+1)=2\\ (x+1)(z+1)=2\\ (y+1)(z+1)=2 \end{cases} \quad (*)\]

Перемножим все три равенства: \[(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=8 \quad\Leftrightarrow\quad (x+1)(y+1)(z+1)=\pm 2\sqrt2\]

Поделив полученное уравнение по очереди на каждое уравнение из системы \((*)\), получим: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} x+1=\sqrt2\\ y+1=\sqrt2\\ z+1=\sqrt2 \end{cases}\\ &\begin{cases} x+1=-\sqrt2\\ y+1=-\sqrt2\\ z+1=-\sqrt2 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} x=\sqrt2-1\\ y=\sqrt2-1\\ z=\sqrt2-1 \end{cases}\\ &\begin{cases} x=-\sqrt2-1\\ y=-\sqrt2-1\\ z=-\sqrt2-1 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((\sqrt2-1; \sqrt2-1; \sqrt2-1); (-\sqrt2-1;-\sqrt2-1;-\sqrt2-1)\)