Математика
Русский язык

16. Задачи по планиметрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, требующие дополнительного построения (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Внутри острого угла \(\angle XOY\) взяты точки \(M\) и \(N\) так, что \(\angle XON = \angle YOM\). На отрезке \(OX\) выбрана точка \(Q\) так, что \(\angle NQX = \angle MQO\), а на отрезке \(OY\) выбрана точка \(P\) так, что \(\angle NPO = \angle MPY\).

а) Докажите, что треугольники \(MPN\) и \(MQN\) имеют одинаковые периметры.

б) Пусть \(R_1\) и \(R_2\) – радиусы окружностей, описанных около треугольников \(POM\) и \(NOQ\) соответственно. \[\text{Найдите}\ \dfrac{R_1}{R_2},\ \text{если}\ PN = MQ.\]

Добавить задание в избранное

а) Достаточно показать, что \(MP + PN = MQ + QN\).

На продолжении отрезка \(MQ\) за точку \(Q\) отметим точку \(N'\) так, что \(QN' = QN\). На продолжении отрезка \(MP\) за точку \(P\) отметим точку \(N''\) так, что \(PN'' = PN\).

Пусть \(S\) – точка пересечения \(NN'\) и \(OX\), \(R\) – точка пересечения \(NN''\) и \(OY\).


 

Рассмотрим треугольники \(NQS\) и \(N'QS\): \[\angle NQS = \angle MQO = \angle SQN'\ \text{(как вертикальные)},\qquad NQ = NQ',\qquad QS\ \text{— общая},\] тогда треугольники \(NQS\) и \(N'QS\) равны и \(OX\) – серединный перпендикуляр к \(NN'\).

Так как точка \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(NN'\), то она равноудалена от точек \(N\) и \(N'\), откуда \(NO = N'O\).

Кроме того, \(OS\) – серединный перпендикуляр, проведённый к основанию равнобедренного треугольника, тогда \(OS\) – биссектриса угла \(\angle NON'\), следовательно, \(\angle SON' = \angle NOS\).

Аналогично \(OY\) – серединный перпендикуляр к \(NN''\), откуда \(N''O = NO\), \(\angle N''OR = \angle RON\).

\[\angle N''OM = \angle N''OR + \angle ROM = \angle RON + \angle SON = \angle MOS + \angle SON' = \angle MON'.\]

 

Рассмотрим треугольники \(MN''O\) и \(MNO'\): \[ON'' = ON = ON',\qquad MO\ \text{— общая},\qquad \angle N''OM = \angle MON',\] откуда следует, что треугольники \(MN''O\) и \(MNO'\) равны по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, \(MN'' = MN'\), но \[MN'' = MP + PN'' = MP + PN,\qquad MN' = MQ + QN' = MQ + QN,\] откуда получаем требуемое равенство.

 

Замечание. На рисунке изображена ситуация, когда \(\angle MOY < \angle NOY\), однако, в остальных случаях все рассуждения можно провести абсолютно аналогично.

 

б) Так как \(MP + PN = MQ + QN\), \(PN = MQ\), то \(MP = QN\).

Из равенства \(MP = QN\) и теоремы синусов получаем: \[2R_1 = \dfrac{MP}{\sin\angle POM} = \dfrac{QN}{\sin\angle NOQ} = 2R_2,\] тогда \(\dfrac{R_1}{R_2} = 1\).

Ответ:

б) \(1\).