9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:
\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]
\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).
Найдите \(\dfrac{4s + 6t + 15}{-2s + 9,5t - 3,75}\), если \(s = 11t\) и \(-2s + \dfrac{19}{2}t - 3,75 \neq 0\).
При \(s = 11t\) и \(-2s + \dfrac{19}{2}t - 3,75 \neq 0\) имеем:
\[\dfrac{4s + 6t + 15}{-2s + 9,5t - 3,75} = \dfrac{44t + 6t + 15}{-22t + 9,5t - 3,75} = \dfrac{50t + 15}{-12,5t - 3,75} = \dfrac{4\cdot(12,5t + 3,75)}{-1\cdot(12,5t + 3,75)} = -4.\]
Ответ: -4
Найдите значение выражения \(\left((\sqrt{2}a + \sqrt{3}b)^2 - 2a^2 - 3b^2\right) : (\sqrt{24}ab)\) при \(ab \neq 0\).
При \(ab \neq 0\) имеем: \[\left((\sqrt{2}a + \sqrt{3}b)^2 - 2a^2 - 3b^2\right) : (\sqrt{24}ab) = \left(2a^2 + 2\sqrt{6}ab + 3b^2 - 2a^2 - 3b^2\right) : (\sqrt{24}ab) = \dfrac{2\sqrt{6}ab}{2\sqrt{6}ab} = 1.\]
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\left((3w + z)^2 - z^2 - 9w^2\right) : (-zw)\) при \(zw \neq 0\).
При \(zw \neq 0\) имеем: \[\left((3w + z)^2 - z^2 - 9w^2\right) : (-zw) = \left(9w^2 + 6wz + z^2 - z^2 - 9w^2\right) : (-zw) = \dfrac{6wz}{-zw} = -6.\]
Ответ: -6
Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\sqrt{\pi} + \dfrac{\pi - x^2}{\sqrt{\pi} - x}\right)\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.
Используя формулу для разности квадратов, получаем: \[\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\sqrt{\pi} + \dfrac{\pi - x^2}{\sqrt{\pi} - x}\right) = \dfrac{1}{x}\cdot\left(-\sqrt{\pi} + \dfrac{(\sqrt{\pi} - x)(\sqrt{\pi} + x)}{\sqrt{\pi} - x}\right).\] Выражение в правой части последнего равенства при всяком числе \(x\), для которого выполняется \(\sqrt{\pi} - x \neq 0\neq x\), равно \(\dfrac{1}{x}\cdot(-\sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} + x) = 1\).
Ответ: 1
При \(x=2503\) и \(y=1001,4\) найдите значение выражения
\[\left(\dfrac 3{2x-y}-\dfrac2{2x+y}-\dfrac1{2x-5y}\right)\div \dfrac{y^2}{4x^2-y^2}\]
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави
Преобразуем данное выражение, учитывая, что из того, что \(x=2503\) и \(y=1001,4\), следует, что \(y^2\ne 0, \ 4x^2-y^2\ne 0, 2x-5x\ne 0\):
\(\left(\dfrac 3{2x-y}-\dfrac2{2x+y}-\dfrac1{2x-5y}\right)\cdot \dfrac{(2x-y)(2x+y)}{y^2}= \dfrac{3(2x-y)(2x+y)}{(2x-y)y^2}- \)
\(-\dfrac{2(2x-y)(2x+y)}{(2x+y)y^2}-\dfrac{(2x-y)(2x+y)}{(2x-5y)y^2}= \dfrac{3(2x+y)}{y^2}-\dfrac{2(2x-y)}{y^2}-\dfrac{4x^2-y^2}{y^2(2x-5y)}= \)
\(=\dfrac{6x+3y-(4x-2y)}{y^2}-\dfrac{4x^2-y^2}{y^2(2x-5y)}= \dfrac{2x+5y}{y^2}-\dfrac{4x^2-y^2}{y^2(2x-5y)}= \)
\(=\dfrac{(2x+5y)(2x-5y)-(4x^2-y^2)}{y^2(2x-5y)}= \dfrac{4x^2-25y^2-4x^2+y^2}{y^2(2x-5y)}=\dfrac{-24y^2}{y^2(2x-5y)}=-24\cdot \dfrac1{2x-5y}\)
Значение данного выражения равно
\[-24\cdot \dfrac1{5006-5007}=-24\cdot \dfrac1{-1}=24\]
Ответ: 24
Найдите значение выражения \(\dfrac{22\cdot (x - \pi)^{e}}{(x - \pi)^{\pi}}\) при \(x = \pi + 1\).
При тех \(x\), при которых знаменатель отличен от нуля: \[\dfrac{22\cdot (x - \pi)^{e}}{(x - \pi)^{\pi}} = 22\cdot(x - \pi)^{e - \pi}.\] При \(x = \pi + 1\) имеем: \(22\cdot(\pi + 1 - \pi)^{e - \pi} = 22\cdot 1^{e - \pi} = 22\cdot 1 = 22\).
Ответ: 22
Найдите значение выражения \((\sin(1)m^2 - 4) \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m + 2}\right)\) при тех значениях \(m\), при которых оно имеет смысл.
Используя формулу для разности квадратов, для тех \(m\), для которых выражение имеет смысл, получим:
\(\begin{multline*} (\sin(1)m^2 - 4) \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m + 2}\right) =\\ = (\sqrt{\sin(1)}m - 2)(\sqrt{\sin(1)}m + 2)\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m + 2}\right) =\\[4pt] = \dfrac{(\sqrt{\sin(1)}m - 2)(\sqrt{\sin(1)}m + 2)}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{(\sqrt{\sin(1)}m - 2)(\sqrt{\sin(1)}m + 2)}{\sqrt{\sin(1)}m + 2} =\\[4pt] = \sqrt{\sin(1)}m + 2 - (\sqrt{\sin(1)}m - 2) = 4 \end{multline*}\)
Ответ: 4
