Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на дробно рациональные выражения (страница 4)

Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:

\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\left((\sqrt{2}a + \sqrt{3}b)^2 - 2a^2 - 3b^2\right) : (\sqrt{24}ab)\) при \(ab \neq 0\).

Добавить задание в избранное

При \(ab \neq 0\) имеем: \[\left((\sqrt{2}a + \sqrt{3}b)^2 - 2a^2 - 3b^2\right) : (\sqrt{24}ab) = \left(2a^2 + 2\sqrt{6}ab + 3b^2 - 2a^2 - 3b^2\right) : (\sqrt{24}ab) = \dfrac{2\sqrt{6}ab}{2\sqrt{6}ab} = 1.\]

Ответ: 1

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\left((3w + z)^2 - z^2 - 9w^2\right) : (-zw)\) при \(zw \neq 0\).

Добавить задание в избранное

При \(zw \neq 0\) имеем: \[\left((3w + z)^2 - z^2 - 9w^2\right) : (-zw) = \left(9w^2 + 6wz + z^2 - z^2 - 9w^2\right) : (-zw) = \dfrac{6wz}{-zw} = -6.\]

Ответ: -6

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\sqrt{\pi} + \dfrac{\pi - x^2}{\sqrt{\pi} - x}\right)\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

Используя формулу для разности квадратов, получаем: \[\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\sqrt{\pi} + \dfrac{\pi - x^2}{\sqrt{\pi} - x}\right) = \dfrac{1}{x}\cdot\left(-\sqrt{\pi} + \dfrac{(\sqrt{\pi} - x)(\sqrt{\pi} + x)}{\sqrt{\pi} - x}\right).\] Выражение в правой части последнего равенства при всяком числе \(x\), для которого выполняется \(\sqrt{\pi} - x \neq 0\neq x\), равно \(\dfrac{1}{x}\cdot(-\sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} + x) = 1\).

Ответ: 1

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

При \(x=2503\) и \(y=1001,4\) найдите значение выражения

\[\left(\dfrac 3{2x-y}-\dfrac2{2x+y}-\dfrac1{2x-5y}\right)\div \dfrac{y^2}{4x^2-y^2}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави

Добавить задание в избранное

Преобразуем данное выражение, учитывая, что из того, что \(x=2503\) и \(y=1001,4\), следует, что \(y^2\ne 0, \ 4x^2-y^2\ne 0, 2x-5x\ne 0\):

 

\(\left(\dfrac 3{2x-y}-\dfrac2{2x+y}-\dfrac1{2x-5y}\right)\cdot \dfrac{(2x-y)(2x+y)}{y^2}= \dfrac{3(2x-y)(2x+y)}{(2x-y)y^2}- \)  

\(-\dfrac{2(2x-y)(2x+y)}{(2x+y)y^2}-\dfrac{(2x-y)(2x+y)}{(2x-5y)y^2}= \dfrac{3(2x+y)}{y^2}-\dfrac{2(2x-y)}{y^2}-\dfrac{4x^2-y^2}{y^2(2x-5y)}= \)  

\(=\dfrac{6x+3y-(4x-2y)}{y^2}-\dfrac{4x^2-y^2}{y^2(2x-5y)}= \dfrac{2x+5y}{y^2}-\dfrac{4x^2-y^2}{y^2(2x-5y)}= \)  

\(=\dfrac{(2x+5y)(2x-5y)-(4x^2-y^2)}{y^2(2x-5y)}= \dfrac{4x^2-25y^2-4x^2+y^2}{y^2(2x-5y)}=\dfrac{-24y^2}{y^2(2x-5y)}=-24\cdot \dfrac1{2x-5y}\)  

Значение данного выражения равно

\[-24\cdot \dfrac1{5006-5007}=-24\cdot \dfrac1{-1}=24\]

Ответ: 24

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{22\cdot (x - \pi)^{e}}{(x - \pi)^{\pi}}\) при \(x = \pi + 1\).

Добавить задание в избранное

При тех \(x\), при которых знаменатель отличен от нуля: \[\dfrac{22\cdot (x - \pi)^{e}}{(x - \pi)^{\pi}} = 22\cdot(x - \pi)^{e - \pi}.\] При \(x = \pi + 1\) имеем: \(22\cdot(\pi + 1 - \pi)^{e - \pi} = 22\cdot 1^{e - \pi} = 22\cdot 1 = 22\).

Ответ: 22

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \((\sin(1)m^2 - 4) \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m + 2}\right)\) при тех значениях \(m\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

Используя формулу для разности квадратов, для тех \(m\), для которых выражение имеет смысл, получим:

\(\begin{multline*} (\sin(1)m^2 - 4) \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m + 2}\right) =\\ = (\sqrt{\sin(1)}m - 2)(\sqrt{\sin(1)}m + 2)\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sin(1)}m + 2}\right) =\\[4pt] = \dfrac{(\sqrt{\sin(1)}m - 2)(\sqrt{\sin(1)}m + 2)}{\sqrt{\sin(1)}m - 2} - \dfrac{(\sqrt{\sin(1)}m - 2)(\sqrt{\sin(1)}m + 2)}{\sqrt{\sin(1)}m + 2} =\\[4pt] = \sqrt{\sin(1)}m + 2 - (\sqrt{\sin(1)}m - 2) = 4 \end{multline*}\)

Ответ: 4

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Вычислить значение выражения \(x^5+\dfrac 1{x^5}\), если \(x^2+\dfrac 1{x^2}=7\) и \(x>0\).

Добавить задание в избранное

Т.к. по формуле квадрата суммы \(\left(x+\dfrac1x\right)^2=x^2+2+\dfrac 1{x^2}\), то \(x+\dfrac1x=\pm \sqrt{7+2}=\pm 3\). Т.к. \(x>0\), то \(x+\dfrac1x=3\).

 

Тогда по формуле куба суммы

\[\left(x+\dfrac1x\right)^3={\color{blue}{27}}=x^3+3x^2\dfrac1x+3x\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x^3}= {\color{blue}{x^3+\dfrac1{x^3}+3\left(x+\dfrac1x\right)}},\]

 

откуда \(x^3+\dfrac1{x^3}=27-3\left(x+\dfrac1x\right)=27-9=18\).

 

Значит, \[\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)\cdot\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)= {\color{blue}{7\cdot 18}}=x^5+x+\dfrac1x+\dfrac1{x^5}={\color{blue}{x^5+\dfrac1{x^5}+3}}\]

 

Следовательно, \(x^5+\dfrac1{x^5}=7\cdot 18-3=123\).

Ответ: 123

1 .... 3 4 5