Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 6)

Задание 36 #4034
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{2\log_{5}(x^2-5x)}{\log_{5}x^2}\leqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2 - 5x > 0\\ \log_{5}x^2\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(5; +\infty).\] Преобразуем по формуле \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\), верной на ОДЗ: \[\begin{aligned} &2\log_{x^2}(x^2-5x)\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{x^2}(x^2-5x)^2 - \log_{x^2}x^2\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{x^2}\dfrac{(x^2-5x)^2}{x^2}\leqslant 0. \end{aligned}\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[\begin{aligned} &(x^2 - 1)\left(\dfrac{(x^2-5x)^2}{x^2} - 1\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2-5x)^2 - x^2}{x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 5x - x)(x^2 - 5x + x)}{x^2}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 6x)(x^2 - 4x)}{x^2}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{x(x - 6)(x - 4)}{x}\leqslant 0 \end{aligned}\] По методу интервалов:



откуда \(x \in[-1;0)\cup(0;1]\cup [4;6]\).
Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ \[x \in (-1;0)\cup (5;6]\]

Ответ:

\((-1;0)\cup (5;6]\)

Задание 37 #1634
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}2x^{-1}\cdot\log_{x}2x^2}{\log_{2x}x\cdot\log_{2x^{-2}}x}<40. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} x > 0\\ x \neq 1\\ 2x^{-1} > 0\\ 2x^2 > 0\\ 2x > 0\\ 2x \neq 1\\ 2x^{-2} > 0\\ 2x^{-2} \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (0; 0,5)\cup(0,5; 1)\cup(1; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty).\]

По формуле \(\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}\) преобразуем знаменатель, а затем каждый логарифм по формулам произведения/частного в аргументе, верным на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &(\log_x2 - \log_xx)\cdot(\log_x2 + \log_xx^2)\cdot(\log_x2+\log_xx)\cdot(\log_x2-\log_xx^2) < 40\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (\log_x2 - 1)\cdot(\log_x2 + 2)\cdot(\log_x2+1)\cdot(\log_x2-2) < 40. \end{aligned}\]

Сделаем замену \(t = \log_x2\):

\[\begin{aligned} &(t - 1)(t + 1)(t + 2)(t - 2) < 40\quad\Leftrightarrow\quad (t^2 - 1)(t^2 - 4) < 40\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad t^4 - 5t^2 + 4 < 40\quad\Leftrightarrow\quad t^4 - 5t^2 - 36 < 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = t^2, y \geqslant 0\):

\[\begin{aligned} &y^2 - 5y - 36 < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y + 4)(y - 9) < 0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &(t^2 + 4)(t^2 - 9) < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 + 4)(t - 3)(t + 3) < 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(t \in(-3; 3)\). \[-3 < \log_x 2 < 3\]

1) \(x > 1\), тогда

\[\begin{aligned} &-3 < \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_x 2 < \log_x x^3\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2 < x^3\qquad\Leftrightarrow\qquad x > \sqrt[3]2, \end{aligned}\]

откуда при учёте \(x > 1\): \[x \in(\sqrt[3]{2}; +\infty).\]

2) \(0 < x < 1\), тогда

\[\begin{aligned} &-3 < \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad -3 < \log_x 2\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_x x^{-3} < \log_x 2\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^{-3} > 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{-1} > \sqrt[3]{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad x < \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}, \end{aligned}\]

откуда при учёте \(0 < x < 1\): \[x \in\left(0; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right).\] Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in(0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty).\]

Ответ:

\((0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\)

Задание 38 #1633
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\frac{1}{9}}(7-6x)\cdot\log_{2-x}\dfrac{1}{3}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} 7 - 6x > 0\\ 2-x > 0\\ 2-x \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right).\]

\[\dfrac{\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}(7-6x)}{\log_{\frac{1}{3}}(2-x)}\geqslant 1.\] Воспользуемся формулой \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\), верной на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\log_{2-x}(7-6x)-\log_{2-x}(2-x)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{2-x}(7-6x)-2\log_{2-x}(2-x)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{2-x}(7-6x)-\log_{2-x}(2-x)^2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{2-x}\dfrac{7-6x}{(2-x)^2}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(2 - x - 1)\left(\dfrac{7-6x}{(2-x)^2} - 1\right)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (1 - x)\cdot\dfrac{3 - 2x - x^2}{(2-x)^2}\geqslant 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in[-3; 2)\cup(2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right)\).
Окончательный ответ \[x \in [-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right).\]

Ответ:

\([-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right)\)

Задание 39 #1632
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{2\log_{x+4}(x^2-2x)}{\log_{x+4}x^2}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + 4 > 0\\ x + 4 \neq 1\\ x^2-2x > 0\\ x^2 > 0\\ \log_{x+4}x^2\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup(-1; 0)\cup(2; +\infty).\]

\[\dfrac{\log_{x+4}(x^2-2x)}{\log_{x+4}x^2}\geqslant 0,5.\] Преобразуем на ОДЗ по формуле \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\): \[\log_{x^2}(x^2-2x)^2 - \log_{x^2}(x^2)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{x^2}\dfrac{(x^2-2x)^2}{x^2}\geqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 - 1)\left(\dfrac{(x^2-2x)^2}{x^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2-2x)^2 - x^2}{x^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 2x - x)(x^2 - 2x + x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 3x)(x^2 - x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 3x)(x - 1)}{x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in(-\infty; -1]\cup[3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty).\]

Ответ:

\((-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty)\)

Задание 40 #1624
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 9\log_{7}(x^2+x-2)\leqslant 10 + \log_{7}\dfrac{(x-1)^9}{x+2}. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2 + x - 2> 0\\ x+2\neq 0\\ \dfrac{(x - 1)^9}{x+2} > 0\\ \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -2)\cup(1; +\infty).\]

\[\begin{aligned} &\log_{7}(x^2+x-2)^9 - \log_{7}7^{10} - \log_{7}\dfrac{(x-1)^9}{x+2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{7}\dfrac{(x^2+x-2)^9}{7^{10}\cdot\frac{(x-1)^9}{x+2}}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{7}\dfrac{(x+2)^9(x-1)^9}{7^{10}\cdot\frac{(x-1)^9}{x+2}}\leqslant 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[\log_{7}\dfrac{(x+2)^{10}}{7^{10}}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 10\cdot\log_{7}\dfrac{|x+2|}{7}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{7}\dfrac{|x+2|}{7}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:
\[(7 - 1)\left(\dfrac{|x+2|}{7} - 1\right)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 6\cdot\dfrac{|x+2| - 7}{7}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad |x+2| - 7\leqslant 0.\] 1) \(x+2 < 0\Rightarrow -x - 9 \leqslant 0\). Отсюда \(x \in[-9; -2)\).
2) \(x+2 \geqslant 0\Rightarrow x - 5 \leqslant 0\). Отсюда \(x \in[-2; 5]\).
Общее решение неравенства с модулем: \(x\in[-9; 5]\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-9; -2)\cup(1; 5]\).
Окончательный ответ \[x \in [-9; -2)\cup(1; 5].\]

Ответ:

\([-9; -2)\cup(1; 5]\)

Задание 41 #1625
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\frac{1}{2}}\left(5^{1+\lg x}-\dfrac{1}{2^{1+\lg x}}\right)\geqslant -1+\lg x. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 42 #1627
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{4}(x+5)^4\cdot\log_{16}(x+4)^2+\log_{2}\dfrac{(x+4)^3}{x+5}-3>0. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} (x+5)^4 > 0\\ (x+4)^2 > 0\\ \dfrac{(x+4)^3}{x+5} > 0\\ x + 5 \neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -5)\cup(-4; +\infty).\]

\[\log_{2^2}(x+5)^4\cdot\log_{2^4}(x+4)^2+\log_{2}\dfrac{(x+4)^3}{x+5}-3>0.\] На ОДЗ неравенство равносильно:
\[\log_{2}|x+5|\cdot\log_{2}|x+4|+3\log_{2}|x+4| - \log_{2}|x+5|-3>0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

\[\begin{aligned} &(\log_{2}|x+4| - 1)(\log_{2}|x+5| + 3)>0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&(\log_{2}|x+4| - \log_22)(\log_{2}|x+5| + \log_{2}8)>0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&\log_{2}\dfrac{|x+4|}{2}\cdot\log_{2}(8\cdot|x+5|)>0. \end{aligned}\]

Возможны 2 случая:
1)

\[\begin{cases} \log_{2}\dfrac{|x+4|}{2} > 0\\ \log_{2}(8\cdot|x+5|) > 0\\ \end{cases}\]

В этом случае по методу рационализации: \(|x + 4| > 2, \ |x + 5| > \dfrac{1}{8}\), откуда
\(x\in(-\infty; -6)\cup(-2; +\infty)\).
2)

\[\begin{cases} \log_{2}\dfrac{|x+4|}{2} < 0\\ \log_{2}(8\cdot|x+5|) < 0\\ \end{cases}\]

В этом случае по методу рационализации: \(|x + 4| < 2, \ |x + 5| < \dfrac{1}{8}\), откуда
\(x\in(-5,125; -4,875)\).
Объединенное решение неравенства: \(x\in(-\infty; -6)\cup(-5,125; -4,875)\cup(-2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in (-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty).\]

Ответ:

\((-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty)\)