Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 6)

Задание 36 #1634
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}2x^{-1}\cdot\log_{x}2x^2}{\log_{2x}x\cdot\log_{2x^{-2}}x}<40. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x > 0\\ x \neq 1\\ 2x^{-1} > 0\\ 2x^2 > 0\\ 2x > 0\\ 2x \neq 1\\ 2x^{-2} > 0\\ 2x^{-2} \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (0; 0,5)\cup(0,5; 1)\cup(1; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty).\]

По формуле \(\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}\) преобразуем знаменатель, а затем каждый логарифм по формулам произведения/частного в аргументе, верным на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &(\log_x2 - \log_xx)\cdot(\log_x2 + \log_xx^2)\cdot(\log_x2+\log_xx)\cdot(\log_x2-\log_xx^2) < 40\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (\log_x2 - 1)\cdot(\log_x2 + 2)\cdot(\log_x2+1)\cdot(\log_x2-2) < 40. \end{aligned}\]

Сделаем замену \(t = \log_x2\):

\[\begin{aligned} &(t - 1)(t + 1)(t + 2)(t - 2) < 40\quad\Leftrightarrow\quad (t^2 - 1)(t^2 - 4) < 40\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad t^4 - 5t^2 + 4 < 40\quad\Leftrightarrow\quad t^4 - 5t^2 - 36 < 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = t^2, y \geqslant 0\):

\[\begin{aligned} &y^2 - 5y - 36 < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y + 4)(y - 9) < 0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &(t^2 + 4)(t^2 - 9) < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 + 4)(t - 3)(t + 3) < 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(t \in(-3; 3)\). \[-3 < \log_x 2 < 3\]

1) \(x > 1\), тогда

\[\begin{aligned} &-3 < \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_x 2 < \log_x x^3\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2 < x^3\qquad\Leftrightarrow\qquad x > \sqrt[3]2, \end{aligned}\]

откуда при учёте \(x > 1\): \[x \in(\sqrt[3]{2}; +\infty).\]

2) \(0 < x < 1\), тогда

\[\begin{aligned} &-3 < \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad -3 < \log_x 2\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_x x^{-3} < \log_x 2\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^{-3} > 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{-1} > \sqrt[3]{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad x < \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}, \end{aligned}\]

откуда при учёте \(0 < x < 1\): \[x \in\left(0; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right).\] Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in(0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty).\]

Ответ:

\((0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\)

Задание 37 #1633
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\frac{1}{9}}(7-6x)\cdot\log_{2-x}\dfrac{1}{3}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} 7 - 6x > 0\\ 2-x > 0\\ 2-x \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right).\]

\[\dfrac{\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}(7-6x)}{\log_{\frac{1}{3}}(2-x)}\geqslant 1.\] Воспользуемся формулой \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\), верной на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\log_{2-x}(7-6x)-\log_{2-x}(2-x)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{2-x}(7-6x)-2\log_{2-x}(2-x)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{2-x}(7-6x)-\log_{2-x}(2-x)^2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{2-x}\dfrac{7-6x}{(2-x)^2}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(2 - x - 1)\left(\dfrac{7-6x}{(2-x)^2} - 1\right)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (1 - x)\cdot\dfrac{3 - 2x - x^2}{(2-x)^2}\geqslant 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in[-3; 2)\cup(2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right)\).
Окончательный ответ \[x \in [-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right).\]

Ответ:

\([-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right)\)

Задание 38 #1632
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{2\log_{x+4}(x^2-2x)}{\log_{x+4}x^2}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + 4 > 0\\ x + 4 \neq 1\\ x^2-2x > 0\\ x^2 > 0\\ \log_{x+4}x^2\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup(-1; 0)\cup(2; +\infty).\]

\[\dfrac{\log_{x+4}(x^2-2x)}{\log_{x+4}x^2}\geqslant 0,5.\] Преобразуем на ОДЗ по формуле \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\): \[\log_{x^2}(x^2-2x)^2 - \log_{x^2}(x^2)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{x^2}\dfrac{(x^2-2x)^2}{x^2}\geqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 - 1)\left(\dfrac{(x^2-2x)^2}{x^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2-2x)^2 - x^2}{x^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 2x - x)(x^2 - 2x + x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 3x)(x^2 - x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 3x)(x - 1)}{x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in(-\infty; -1]\cup[3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty).\]

Ответ:

\((-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty)\)

Задание 39 #1624
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 9\log_{7}(x^2+x-2)\leqslant 10 + \log_{7}\dfrac{(x-1)^9}{x+2}. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2 + x - 2> 0\\ x+2\neq 0\\ \dfrac{(x - 1)^9}{x+2} > 0\\ \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -2)\cup(1; +\infty).\]

\[\begin{aligned} &\log_{7}(x^2+x-2)^9 - \log_{7}7^{10} - \log_{7}\dfrac{(x-1)^9}{x+2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{7}\dfrac{(x^2+x-2)^9}{7^{10}\cdot\frac{(x-1)^9}{x+2}}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{7}\dfrac{(x+2)^9(x-1)^9}{7^{10}\cdot\frac{(x-1)^9}{x+2}}\leqslant 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[\log_{7}\dfrac{(x+2)^{10}}{7^{10}}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 10\cdot\log_{7}\dfrac{|x+2|}{7}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{7}\dfrac{|x+2|}{7}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:
\[(7 - 1)\left(\dfrac{|x+2|}{7} - 1\right)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 6\cdot\dfrac{|x+2| - 7}{7}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad |x+2| - 7\leqslant 0.\] 1) \(x+2 < 0\Rightarrow -x - 9 \leqslant 0\). Отсюда \(x \in[-9; -2)\).
2) \(x+2 \geqslant 0\Rightarrow x - 5 \leqslant 0\). Отсюда \(x \in[-2; 5]\).
Общее решение неравенства с модулем: \(x\in[-9; 5]\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-9; -2)\cup(1; 5]\).
Окончательный ответ \[x \in [-9; -2)\cup(1; 5].\]

Ответ:

\([-9; -2)\cup(1; 5]\)

Задание 40 #1625
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\frac{1}{2}}\left(5^{1+\lg x}-\dfrac{1}{2^{1+\lg x}}\right)\geqslant -1+\lg x. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x > 0\\ 2^{1+\lg x}\neq 0\\ 5^{1+\lg x}-\dfrac{1}{2^{1+\lg x}} > 0 \end{cases}\]

Рассмотрим отдельно неравенство \[5^{1+\lg x}>\dfrac{1}{2^{1+\lg x}}\] Так как при \(x > 0\) выполнено \(2^{1+\lg x} > 0\), то на это выражение неравенство можно домножить: \[10^{1+\lg x} > 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 1 + \lg x > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(0,1; +\infty).\] В итоге ОДЗ: \[x\in(0,1; +\infty)\] \[\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{5^{1+\lg x}\cdot 2^{1+\lg x} - 1}{2^{1+\lg x}}\geqslant\lg x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{\frac{1}{2}}\dfrac{10^{1+\lg x} - 1}{2^{1+\lg x}}\geqslant\lg x - 1.\] По формуле логарифма частного, верной на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) - \log_{\frac{1}{2}}2^{1+\lg x} - \lg x + 1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad&\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) - \log_{2^{-1}}2^{1+\lg x} - \lg x + 1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad&\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) + 1 + \lg x - \lg x + 1\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad&\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad\log_{\frac{1}{2}}\left((10^{1+\lg x} - 1)\cdot\dfrac{1}{4}\right)\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(10^{1+\lg x} - 1)\cdot\dfrac{1}{4} \leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad 10^{1+\lg x} \leqslant 5\quad\Leftrightarrow\quad 10^1\cdot 10^{\lg x} \leqslant 5\quad\Leftrightarrow\quad x \leqslant 0,5\] Пересечем ответ с ОДЗ: \(x\in(0,1; 0,5]\).
Окончательный ответ \[x\in(0,1; 0,5].\]

Ответ:

\((0,1; 0,5]\)

Задание 41 #1627
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{4}(x+5)^4\cdot\log_{16}(x+4)^2+\log_{2}\dfrac{(x+4)^3}{x+5}-3>0. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} (x+5)^4 > 0\\ (x+4)^2 > 0\\ \dfrac{(x+4)^3}{x+5} > 0\\ x + 5 \neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -5)\cup(-4; +\infty).\]

\[\log_{2^2}(x+5)^4\cdot\log_{2^4}(x+4)^2+\log_{2}\dfrac{(x+4)^3}{x+5}-3>0.\] На ОДЗ неравенство равносильно:
\[\log_{2}|x+5|\cdot\log_{2}|x+4|+3\log_{2}|x+4| - \log_{2}|x+5|-3>0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

\[\begin{aligned} &(\log_{2}|x+4| - 1)(\log_{2}|x+5| + 3)>0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&(\log_{2}|x+4| - \log_22)(\log_{2}|x+5| + \log_{2}8)>0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&\log_{2}\dfrac{|x+4|}{2}\cdot\log_{2}(8\cdot|x+5|)>0. \end{aligned}\]

Возможны 2 случая:
1)

\[\begin{cases} \log_{2}\dfrac{|x+4|}{2} > 0\\ \log_{2}(8\cdot|x+5|) > 0\\ \end{cases}\]

В этом случае по методу рационализации: \(|x + 4| > 2, \ |x + 5| > \dfrac{1}{8}\), откуда
\(x\in(-\infty; -6)\cup(-2; +\infty)\).
2)

\[\begin{cases} \log_{2}\dfrac{|x+4|}{2} < 0\\ \log_{2}(8\cdot|x+5|) < 0\\ \end{cases}\]

В этом случае по методу рационализации: \(|x + 4| < 2, \ |x + 5| < \dfrac{1}{8}\), откуда
\(x\in(-5,125; -4,875)\).
Объединенное решение неравенства: \(x\in(-\infty; -6)\cup(-5,125; -4,875)\cup(-2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in (-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty).\]

Ответ:

\((-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty)\)

Задание 42 #1637
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{3-x}(x^2-10x+25)\leqslant 2\log_{3-x}(4x-x^2+5)-2. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2 - 10x + 25 > 0\\ 4x - x^2 + 5 > 0\\ 3 - x > 0\\ 3 - x \neq 1 \end{cases}\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-1; 2)\cup(2; 3).\]

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\cdot\log_{3-x}(x^2-10x+25) - \log_{3-x}(4x-x^2+5)+\log_{3-x}(3-x)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{2}\cdot\log_{3-x}(x-5)^2 - \log_{3-x}(4x-x^2+5)+\log_{3-x}(3-x)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{3-x}\dfrac{|x-5|\cdot(3-x)}{4x-x^2+5}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(3 - x - 1)\left(\dfrac{|x-5|\cdot(3-x)}{4x-x^2+5} - 1\right)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &(2- x)\dfrac{|x-5|\cdot(3-x) - (4x-x^2+5)}{4x-x^2+5}\leqslant 0. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x - 5 < 0\), то \[(2- x)\dfrac{(5-x)\cdot(3-x) - (4x-x^2+5)}{4x-x^2+5}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (2- x)\dfrac{2x^2 - 12x + 10}{4x-x^2+5}\leqslant 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in(-\infty; -1)\cup[1; 2]\cup(5; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [1; 2)\).
Окончательный ответ \[x \in [1; 2).\]

Ответ:

\([1; 2)\)

1 .... 5 6 7