Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 6)

Задание 36
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{2\log_{x+4}(x^2-2x)}{\log_{x+4}x^2}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + 4 > 0\\ x + 4 \neq 1\\ x^2-2x > 0\\ x^2 > 0\\ \log_{x+4}x^2\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup(-1; 0)\cup(2; +\infty).\]

\[\dfrac{\log_{x+4}(x^2-2x)}{\log_{x+4}x^2}\geqslant 0,5.\] Преобразуем на ОДЗ по формуле \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\): \[\log_{x^2}(x^2-2x)^2 - \log_{x^2}(x^2)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{x^2}\dfrac{(x^2-2x)^2}{x^2}\geqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 - 1)\left(\dfrac{(x^2-2x)^2}{x^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2-2x)^2 - x^2}{x^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 2x - x)(x^2 - 2x + x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 3x)(x^2 - x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 3x)(x - 1)}{x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in(-\infty; -1]\cup[3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty).\]

Ответ:

\((-4; -3)\cup(-3; -1)\cup[3; +\infty)\)

Задание 37
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 9\log_{7}(x^2+x-2)\leqslant 10 + \log_{7}\dfrac{(x-1)^9}{x+2}. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2 + x - 2> 0\\ x+2\neq 0\\ \dfrac{(x - 1)^9}{x+2} > 0\\ \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -2)\cup(1; +\infty).\]

\[\begin{aligned} &\log_{7}(x^2+x-2)^9 - \log_{7}7^{10} - \log_{7}\dfrac{(x-1)^9}{x+2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{7}\dfrac{(x^2+x-2)^9}{7^{10}\cdot\frac{(x-1)^9}{x+2}}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{7}\dfrac{(x+2)^9(x-1)^9}{7^{10}\cdot\frac{(x-1)^9}{x+2}}\leqslant 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[\log_{7}\dfrac{(x+2)^{10}}{7^{10}}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 10\cdot\log_{7}\dfrac{|x+2|}{7}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{7}\dfrac{|x+2|}{7}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:
\[(7 - 1)\left(\dfrac{|x+2|}{7} - 1\right)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 6\cdot\dfrac{|x+2| - 7}{7}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad |x+2| - 7\leqslant 0.\] 1) \(x+2 < 0\Rightarrow -x - 9 \leqslant 0\). Отсюда \(x \in[-9; -2)\).
2) \(x+2 \geqslant 0\Rightarrow x - 5 \leqslant 0\). Отсюда \(x \in[-2; 5]\).
Общее решение неравенства с модулем: \(x\in[-9; 5]\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-9; -2)\cup(1; 5]\).
Окончательный ответ \[x \in [-9; -2)\cup(1; 5].\]

Ответ:

\([-9; -2)\cup(1; 5]\)

Задание 38
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\frac{1}{2}}\left(5^{1+\lg x}-\dfrac{1}{2^{1+\lg x}}\right)\geqslant -1+\lg x. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x > 0\\ 2^{1+\lg x}\neq 0\\ 5^{1+\lg x}-\dfrac{1}{2^{1+\lg x}} > 0 \end{cases}\]

Рассмотрим отдельно неравенство \[5^{1+\lg x}>\dfrac{1}{2^{1+\lg x}}\] Так как при \(x > 0\) выполнено \(2^{1+\lg x} > 0\), то на это выражение неравенство можно домножить: \[10^{1+\lg x} > 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 1 + \lg x > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(0,1; +\infty).\] В итоге ОДЗ: \[x\in(0,1; +\infty)\] \[\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{5^{1+\lg x}\cdot 2^{1+\lg x} - 1}{2^{1+\lg x}}\geqslant\lg x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{\frac{1}{2}}\dfrac{10^{1+\lg x} - 1}{2^{1+\lg x}}\geqslant\lg x - 1.\] По формуле логарифма частного, верной на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) - \log_{\frac{1}{2}}2^{1+\lg x} - \lg x + 1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad&\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) - \log_{2^{-1}}2^{1+\lg x} - \lg x + 1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad&\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) + 1 + \lg x - \lg x + 1\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad&\log_{\frac{1}{2}}(10^{1+\lg x} - 1) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad\log_{\frac{1}{2}}\left((10^{1+\lg x} - 1)\cdot\dfrac{1}{4}\right)\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(10^{1+\lg x} - 1)\cdot\dfrac{1}{4} \leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad 10^{1+\lg x} \leqslant 5\quad\Leftrightarrow\quad 10^1\cdot 10^{\lg x} \leqslant 5\quad\Leftrightarrow\quad x \leqslant 0,5\] Пересечем ответ с ОДЗ: \(x\in(0,1; 0,5]\).
Окончательный ответ \[x\in(0,1; 0,5].\]

Ответ:

\((0,1; 0,5]\)

Задание 39
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{4}(x+5)^4\cdot\log_{16}(x+4)^2+\log_{2}\dfrac{(x+4)^3}{x+5}-3>0. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} (x+5)^4 > 0\\ (x+4)^2 > 0\\ \dfrac{(x+4)^3}{x+5} > 0\\ x + 5 \neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -5)\cup(-4; +\infty).\]

\[\log_{2^2}(x+5)^4\cdot\log_{2^4}(x+4)^2+\log_{2}\dfrac{(x+4)^3}{x+5}-3>0.\] На ОДЗ неравенство равносильно:
\[\log_{2}|x+5|\cdot\log_{2}|x+4|+3\log_{2}|x+4| - \log_{2}|x+5|-3>0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

\[\begin{aligned} &(\log_{2}|x+4| - 1)(\log_{2}|x+5| + 3)>0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&(\log_{2}|x+4| - \log_22)(\log_{2}|x+5| + \log_{2}8)>0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&\log_{2}\dfrac{|x+4|}{2}\cdot\log_{2}(8\cdot|x+5|)>0. \end{aligned}\]

Возможны 2 случая:
1)

\[\begin{cases} \log_{2}\dfrac{|x+4|}{2} > 0\\ \log_{2}(8\cdot|x+5|) > 0\\ \end{cases}\]

В этом случае по методу рационализации: \(|x + 4| > 2, \ |x + 5| > \dfrac{1}{8}\), откуда
\(x\in(-\infty; -6)\cup(-2; +\infty)\).
2)

\[\begin{cases} \log_{2}\dfrac{|x+4|}{2} < 0\\ \log_{2}(8\cdot|x+5|) < 0\\ \end{cases}\]

В этом случае по методу рационализации: \(|x + 4| < 2, \ |x + 5| < \dfrac{1}{8}\), откуда
\(x\in(-5,125; -4,875)\).
Объединенное решение неравенства: \(x\in(-\infty; -6)\cup(-5,125; -4,875)\cup(-2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in (-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty).\]

Ответ:

\((-\infty; -6)\cup(-5,125; -5)\cup(-2; +\infty)\)

Задание 40
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{3-x}(x^2-10x+25)\leqslant 2\log_{3-x}(4x-x^2+5)-2. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2 - 10x + 25 > 0\\ 4x - x^2 + 5 > 0\\ 3 - x > 0\\ 3 - x \neq 1 \end{cases}\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-1; 2)\cup(2; 3).\]

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\cdot\log_{3-x}(x^2-10x+25) - \log_{3-x}(4x-x^2+5)+\log_{3-x}(3-x)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{2}\cdot\log_{3-x}(x-5)^2 - \log_{3-x}(4x-x^2+5)+\log_{3-x}(3-x)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{3-x}\dfrac{|x-5|\cdot(3-x)}{4x-x^2+5}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(3 - x - 1)\left(\dfrac{|x-5|\cdot(3-x)}{4x-x^2+5} - 1\right)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &(2- x)\dfrac{|x-5|\cdot(3-x) - (4x-x^2+5)}{4x-x^2+5}\leqslant 0. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x - 5 < 0\), то \[(2- x)\dfrac{(5-x)\cdot(3-x) - (4x-x^2+5)}{4x-x^2+5}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (2- x)\dfrac{2x^2 - 12x + 10}{4x-x^2+5}\leqslant 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in(-\infty; -1)\cup[1; 2]\cup(5; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [1; 2)\).
Окончательный ответ \[x \in [1; 2).\]

Ответ:

\([1; 2)\)

Задание 41
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\dfrac{x+5}{x+3}\geqslant\log_{9}(x+1)^2. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + 3 \neq 0\\ \dfrac{x+5}{x+3} > 0\\ (x+1)^2 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -5)\cup(-3; -1)\cup(-1; +\infty)\]

\[\begin{aligned} &\log_33-\log_{3}\dfrac{x+5}{x+3}\geqslant\dfrac{1}{2}\log_{3}(x+1)^2\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3}\dfrac{3(x+3)}{x+5}\geqslant\dfrac{1}{2}\log_{3}(x+1)^2\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{3}\dfrac{9(x+3)^2}{(x+5)^2}\geqslant\log_{3}(x+1)^2\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3}\dfrac{9(x+3)^2}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0. \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(3 - 1)\left(\dfrac{9(x+3)^2}{(x+5)^2(x+1)^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{9(x+3)^2 - (x+5)^2(x+1)^2}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(3x+9 - (x+5)(x+1))(3x+9 + (x+5)(x+1))}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(-x^2 - 3x + 4)(x^2 + 9x + 14)}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 9x + 14)}{(x+5)^2(x+1)^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x + 4)(x - 1)(x + 7)(x + 2)}{(x+5)^2(x+1)^2}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in[-7; -5)\cup(-5; -4]\cup[-2; -1)\cup(-1; 1]\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-7; -5)\cup[-2; -1)\cup(-1; 1]\).
Окончательный ответ \[x \in [-7; -5)\cup[-2; -1)\cup(-1; 1].\]

Ответ:

\([-7; -5)\cup[-2; -1)\cup(-1; 1]\)

1 .... 5 6