Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Кубические уравнения (страница 4)

Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]

где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.

 

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.

 

\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]

для любого числа \(a\) имеют единственный корень

\[x=\sqrt[3]a\]

Пример.

Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).

 

\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

 

Пример.

Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).

 

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).

 

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]

 

\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

 

Для этого можно использовать следующие утверждения:

\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).

 

\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\)\({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:

 

\(d\) делится нацело на \(p\);  \(a\) делится нацело на \(q\).

 

Пример.

1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

 

2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.

 

3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

 

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).

Задание 22 #2604
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \(x^3-5x^2-x+5=0\). В ответ запишите наибольший по модулю корень.

Добавить задание в избранное

Разложим на множители левую часть: \[\begin{aligned} &x^2(x-5)-(x-5)=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-5)(x^2-1)=0 \quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \quad &(x-5)(x-1)(x+1)=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=5, \ x_2=1, \ x_3=-1.\end{aligned}\] Наибольший по модулю корень – это \(x=5\).

Ответ: 5

Задание 23 #2605
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите модуль разности корней уравнения \(x^3-7x^2+11x-5=0\).

Добавить задание в избранное

Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: \(1-7+11-5=0\), следовательно, \(x=1\) является корнем уравнения. Выполним деление в столбик: \[\begin{array}{rr|l} x^3-7x^2+11x-5&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad x^2 -6x + 5\\[-3pt] -6x^2 + 11x\phantom{000}&&\\ \underline{-6x^2 + \,6x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 5x-5&&\\ \underline{5x-5}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение можно переписать в виде: \[(x-1)(x^2-6x+5)=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)(x-1)(x-5)=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=1; \ x_2=5.\] Модуль разности корней уравнения: \(|5-1|=4\).

Ответ: 4

Задание 24 #2609
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \((x+1)^3+8+6(x+1)(x+3)=0\).

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(x+1=t\). Тогда уравнение перепишется в виде \[\begin{aligned} &t^3+6t(t+2)+8=0\quad\Leftrightarrow\quad t^3+6t^2+12t+8=0\quad\Leftrightarrow\\&\Leftrightarrow\quad t^3+3\cdot t^2\cdot 2+3\cdot t\cdot 2^2+2^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (t+2)^3=0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad t+2=0\quad\Leftrightarrow\quad t=-2\quad\Rightarrow\quad x=-3.\end{aligned}\]

Ответ: -3

Задание 25 #2608
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольший положительный корень уравнения \((2x^3+x^2+3x-1)^2=25\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно совокупности: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2x^3+x^2+3x-1=5\\ &2x^3+x^2+3x-1=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2x^3+x^2+3x-6=0\\ &2x^3+x^2+3x+4=0 \end{aligned}\end{gathered} \right.\] Решим каждое уравнение по отдельности.

 

1) \(2x^3+x^2+3x-6=0\). Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: \(2+1+3-6=0\), следовательно, \(x=1\) является корнем. Выполним деление в столбик \(2x^3+x^2+3x-6\) на \(x-1\): \[\begin{array}{rr|l} 2x^3+\;x^2+3x-6&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{2x^3-2x^2} \;\phantom{0000000}&&\negthickspace \quad 2x^2+3x+6\\[-3pt] 3x^2+3x\phantom{000}&&\\ \underline{3x^2-3x}\phantom{000}&&\\[-3pt] 6x-6&&\\ \underline{6x-6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение перепишется в виде:\[(x-1)(2x^2+3x+6)=0\]Дискриминант квадратного трехчлена \(D<0\), следовательно, он не имеет корней. Таким образом, уравнение имеет один корень \(x=1\).

 

2) \(2x^3+x^2+3x+4=0\). Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях \(x\), равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: \(1+4=2+3\), следовательно, \(x=-1\) является корнем. Выполним деление в столбик \(2x^3+x^2+3x+4\) на \(x+1\): \[\begin{array}{rr|l} 2x^3+\;x^2+3x+4&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{2x^3+2x^2} \;\phantom{0000000}&&\negthickspace \quad 2x^2-x+4\\[-3pt] -x^2+3x\phantom{000}&&\\ \underline{-x^2-\;x}\phantom{000}&&\\[-3pt] 4x+4&&\\ \underline{4x+4}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение перепишется в виде:\[(x+1)(2x^2-x+4)=0\]Дискриминант квадратного трехчлена \(D<0\), следовательно, он не имеет корней. Таким образом, уравнение имеет один корень \(x=-1\).

 

Таким образом, исходное уравнение имеет только один положительный корень \(x=1\).

Ответ: 1

Задание 26 #2607
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \((21x-8-4x^3-4x^2)^3=1\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно уравнению \[21x-8-4x^3-4x^2=1\quad\Leftrightarrow\quad 4x^3+4x^2-21x+9=0\] Попробуем подобрать рациональный корень \(\frac pq\): тогда \(p\) – делитель \(9\), а \(q\) — делитель \(4\). Следовательно, возможные варианты корней: \[\pm 1; \ \pm\frac12; \ \pm\frac14; \ \pm3; \ \pm\frac32; \ \pm\frac34; \ \pm9; \ \pm\frac92; \ \pm\frac94.\] Проверим сначала целые корни. Таким образом, убеждаемся, что \(x=-3\) является корнем: \[4\cdot(-3)^3+4\cdot(-3)^2-21\cdot(-3)+9=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\] Теперь разделим \(4x^3+4x^2-21x+9\) на \(x+3\) в столбик: \[\begin{array}{rr|l} 4x^3+\;\,4x^2-21x+9&&\negthickspace\underline{\qquad x+3 \qquad}\\ \underline{4x^3+12x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad 4x^2-8x+3\\[-3pt] -8x^2-21x\phantom{000}&&\\ \underline{-8x^2-24x}\phantom{000}&&\\[-3pt] 3x+9&&\\ \underline{3x+9}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение примет вид: \[(x+3)(4x^2-8x+3)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+3)\cdot 4\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac32\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=-3; \ x_2=\frac12; \ x_3=\frac32.\] Наибольший по модулю корень – это \(x=-3\).

Ответ: -3

Задание 27 #2606
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите целый корень уравнения \(x^3+4x=3,5x^2+1,5\).

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде: \[x^3-3,5x^2+4x-1,5=0\] и заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: \(1-3,5+4-1,5=0\), следовательно, \(x=1\) является корнем уравнения. Следовательно, при разложении на множители левой части один из множителей должен быть \((x-1)\). Преобразуем левую часть: \[\begin{aligned} &x^3-1-(3,5x^2-4x+0,5)=(x-1)(x^2+x+1)-0,5(7x^2-8x+1)=\\&= (x-1)(x^2+x+1)-0,5(x-1)(7x-1)= (x-1)(x^2+x+1-0,5(7x-1))=\\&=(x-1)(x^2-2,5x+1,5)=(x-1)(x-1)(x-1,5).\end{aligned}\] Следовательно, корнями уравнения будут \(x_1=1; \ x_2=1,5\). Тогда целый корень – это \(x=1\).

Ответ: 1

Задание 28 #1184
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите сумму корней уравнения \[\pi x - \dfrac{1}{\pi} x^3 - 2\pi + \dfrac{2}{\pi} x^2 = 0,\]

если известно, что все они различны.

Добавить задание в избранное

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) сумма его корней (при учёте того, что все они различны) равна \(-\dfrac{b}{a}\), тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно \[-\dfrac{\frac{2}{\pi}}{-\frac{1}{\pi}} = 2.\]

Ответ: 2

1 .... 3 4 5