5. Решение уравнений
Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]
где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.
Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.
\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]
для любого числа \(a\) имеют единственный корень
\[x=\sqrt[3]a\]
Пример.
Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).
\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.
Пример.
Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).
Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]
Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).
В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]
\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.
Для этого можно использовать следующие утверждения:
\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).
\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).
\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\) – \({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:
\(d\) делится нацело на \(p\); \(a\) делится нацело на \(q\).
Пример.
1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.
2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.
3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]
Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):
\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]
Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).
Решите уравнение \(x^3-5x^2-x+5=0\). В ответ запишите наибольший по модулю корень.
Разложим на множители левую часть: \[\begin{aligned} &x^2(x-5)-(x-5)=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-5)(x^2-1)=0 \quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \quad &(x-5)(x-1)(x+1)=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=5, \ x_2=1, \ x_3=-1.\end{aligned}\] Наибольший по модулю корень – это \(x=5\).
Ответ: 5
Найдите модуль разности корней уравнения \(x^3-7x^2+11x-5=0\).
Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: \(1-7+11-5=0\), следовательно, \(x=1\) является корнем уравнения. Выполним деление в столбик: \[\begin{array}{rr|l} x^3-7x^2+11x-5&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad x^2 -6x + 5\\[-3pt] -6x^2 + 11x\phantom{000}&&\\ \underline{-6x^2 + \,6x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 5x-5&&\\ \underline{5x-5}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение можно переписать в виде: \[(x-1)(x^2-6x+5)=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)(x-1)(x-5)=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=1; \ x_2=5.\] Модуль разности корней уравнения: \(|5-1|=4\).
Ответ: 4
Решите уравнение \((x+1)^3+8+6(x+1)(x+3)=0\).
Сделаем замену \(x+1=t\). Тогда уравнение перепишется в виде \[\begin{aligned} &t^3+6t(t+2)+8=0\quad\Leftrightarrow\quad t^3+6t^2+12t+8=0\quad\Leftrightarrow\\&\Leftrightarrow\quad t^3+3\cdot t^2\cdot 2+3\cdot t\cdot 2^2+2^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (t+2)^3=0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad t+2=0\quad\Leftrightarrow\quad t=-2\quad\Rightarrow\quad x=-3.\end{aligned}\]
Ответ: -3
Найдите наибольший положительный корень уравнения \((2x^3+x^2+3x-1)^2=25\).
Данное уравнение равносильно совокупности: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2x^3+x^2+3x-1=5\\ &2x^3+x^2+3x-1=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2x^3+x^2+3x-6=0\\ &2x^3+x^2+3x+4=0 \end{aligned}\end{gathered} \right.\] Решим каждое уравнение по отдельности.
1) \(2x^3+x^2+3x-6=0\). Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: \(2+1+3-6=0\), следовательно, \(x=1\) является корнем. Выполним деление в столбик \(2x^3+x^2+3x-6\) на \(x-1\): \[\begin{array}{rr|l} 2x^3+\;x^2+3x-6&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{2x^3-2x^2} \;\phantom{0000000}&&\negthickspace \quad 2x^2+3x+6\\[-3pt] 3x^2+3x\phantom{000}&&\\ \underline{3x^2-3x}\phantom{000}&&\\[-3pt] 6x-6&&\\ \underline{6x-6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение перепишется в виде:\[(x-1)(2x^2+3x+6)=0\]Дискриминант квадратного трехчлена \(D<0\), следовательно, он не имеет корней. Таким образом, уравнение имеет один корень \(x=1\).
2) \(2x^3+x^2+3x+4=0\). Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях \(x\), равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: \(1+4=2+3\), следовательно, \(x=-1\) является корнем. Выполним деление в столбик \(2x^3+x^2+3x+4\) на \(x+1\): \[\begin{array}{rr|l} 2x^3+\;x^2+3x+4&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{2x^3+2x^2} \;\phantom{0000000}&&\negthickspace \quad 2x^2-x+4\\[-3pt] -x^2+3x\phantom{000}&&\\ \underline{-x^2-\;x}\phantom{000}&&\\[-3pt] 4x+4&&\\ \underline{4x+4}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение перепишется в виде:\[(x+1)(2x^2-x+4)=0\]Дискриминант квадратного трехчлена \(D<0\), следовательно, он не имеет корней. Таким образом, уравнение имеет один корень \(x=-1\).
Таким образом, исходное уравнение имеет только один положительный корень \(x=1\).
Ответ: 1
Решите уравнение \((21x-8-4x^3-4x^2)^3=1\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.
Данное уравнение равносильно уравнению \[21x-8-4x^3-4x^2=1\quad\Leftrightarrow\quad 4x^3+4x^2-21x+9=0\] Попробуем подобрать рациональный корень \(\frac pq\): тогда \(p\) – делитель \(9\), а \(q\) — делитель \(4\). Следовательно, возможные варианты корней: \[\pm 1; \ \pm\frac12; \ \pm\frac14; \ \pm3; \ \pm\frac32; \ \pm\frac34; \ \pm9; \ \pm\frac92; \ \pm\frac94.\] Проверим сначала целые корни. Таким образом, убеждаемся, что \(x=-3\) является корнем: \[4\cdot(-3)^3+4\cdot(-3)^2-21\cdot(-3)+9=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\] Теперь разделим \(4x^3+4x^2-21x+9\) на \(x+3\) в столбик: \[\begin{array}{rr|l} 4x^3+\;\,4x^2-21x+9&&\negthickspace\underline{\qquad x+3 \qquad}\\ \underline{4x^3+12x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad 4x^2-8x+3\\[-3pt] -8x^2-21x\phantom{000}&&\\ \underline{-8x^2-24x}\phantom{000}&&\\[-3pt] 3x+9&&\\ \underline{3x+9}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение примет вид: \[(x+3)(4x^2-8x+3)=0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+3)\cdot 4\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac32\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=-3; \ x_2=\frac12; \ x_3=\frac32.\] Наибольший по модулю корень – это \(x=-3\).
Ответ: -3
Найдите целый корень уравнения \(x^3+4x=3,5x^2+1,5\).
Перепишем уравнение в виде: \[x^3-3,5x^2+4x-1,5=0\] и заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: \(1-3,5+4-1,5=0\), следовательно, \(x=1\) является корнем уравнения. Следовательно, при разложении на множители левой части один из множителей должен быть \((x-1)\). Преобразуем левую часть: \[\begin{aligned} &x^3-1-(3,5x^2-4x+0,5)=(x-1)(x^2+x+1)-0,5(7x^2-8x+1)=\\&= (x-1)(x^2+x+1)-0,5(x-1)(7x-1)= (x-1)(x^2+x+1-0,5(7x-1))=\\&=(x-1)(x^2-2,5x+1,5)=(x-1)(x-1)(x-1,5).\end{aligned}\] Следовательно, корнями уравнения будут \(x_1=1; \ x_2=1,5\). Тогда целый корень – это \(x=1\).
Ответ: 1
Найдите сумму корней уравнения \[\pi x - \dfrac{1}{\pi} x^3 - 2\pi + \dfrac{2}{\pi} x^2 = 0,\]
если известно, что все они различны.
По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) сумма его корней (при учёте того, что все они различны) равна \(-\dfrac{b}{a}\), тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно \[-\dfrac{\frac{2}{\pi}}{-\frac{1}{\pi}} = 2.\]
Ответ: 2
