Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, описанная около многоугольника (страница 3)

Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).
Для вписанного треугольника верна формула \[\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R,\] где \(\alpha\) – угол треугольника, лежащий против стороны \(a\).

 

Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле

\[\Large{S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\).
И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\), то около него можно описать окружность. (рис. 2)

 

\(\blacktriangleright\) Около выпуклого четырехугольника описана окружность \(\Leftrightarrow\) \(\large{\angle \alpha =\angle \beta}\). (рис. 3)


 

Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле

\[{\large{S_{\text{впис.4-к}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},}}\]

где \(a,b,c,d\) – его стороны, \(p=\frac12(a+b+c+d)\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 4).

 

\(\blacktriangleright\) Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 5).

 

\(\blacktriangleright\) Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
И наоборот: около равнобедренной (и только равнобедренной) трапеции можно описать окружность (рис. 6).

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол \(A\) четырехугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, равен \(58^\circ\). Найдите угол \(C\) этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных его углов равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\), откуда \(\angle C=180^\circ-58^\circ=122^\circ\).

Ответ: 122

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около треугольника \(ABC\) описана окружность с центром в точке \(O\). \(\angle BAO+\angle CBO=50^\circ\). Найдите \( \angle ACO\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COA\) – равнобедренные, то \(\angle OBA=\angle OAB=\beta\), \(\angle OCB=\angle OBC=\gamma\), \(\angle OCA=\angle OAC=\alpha\).
Значит, \(\beta+\gamma=50^\circ\).

 

Т.к. сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ\), то \[(\beta+\alpha)+(\alpha+\gamma)+(\gamma+\beta)=180^\circ \quad \Rightarrow \quad 2\alpha=180^\circ-2(\beta+\gamma)=80^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha=40^\circ.\]

Ответ: 40

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около треугольника \(ABC\) описана окружность с центром в точке \(O\). \(\angle BAO=15^\circ, \angle CBO=40^\circ\). Найдите \( \angle ACO\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COA\) – равнобедренные, то \(\angle OBA=15^\circ, \angle OCB=40^\circ\), \(\angle OCA=\angle OAC=\alpha\).

 

Т.к. сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ\), то \[(15^\circ+\alpha)+(\alpha+40^\circ)+(40^\circ+15^\circ)=180^\circ \quad \Rightarrow \quad 2\alpha=180^\circ-2(15^\circ+40^\circ)=70^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha=35^\circ.\]

Ответ: 35

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около треугольника \(ABC\) описана окружность с центром в точке \(O\). \(\angle BAO=20^\circ, \angle BCO=30^\circ\). Найдите \( \angle AOC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. треугольники \(AOB\), \(BOC\) – равнобедренные, то \(\angle OBA=\angle OAB=20^\circ\), \(\angle OBC=\angle OCB=30^\circ\). Следовательно, \(\angle B=20^\circ+30^\circ=50^\circ\).

 

Т.к. \(\angle AOC\) – центральный угол, опирающийся на ту же дугу \(AC\), что и вписанный \(\angle B\), то \(\angle AOC=2\angle B=100^\circ\).

Ответ: 100

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен \(108^\circ\). Найдите число вершин многоугольника.

Добавить задание в избранное

1 способ.
Рассмотрим чертеж:



Пусть \(O\) – центр окружности, \(A, B, C\) – три последовательные вершины правильного многоугольника. Тогда \(\angle ABC=108^\circ\).
Заметим, что правильный многоугольник не может иметь 3 или 4 вершины, так как в этом случае это будет правильный треугольник или квадрат, а у этих фигур угол между соседними сторонами равен \(60^\circ\) и \(90^\circ\) соответственно.
Проведем \(OA, OB, OC\) – радиусы. Так как \(AB=BC\), то \(\triangle AOB=\triangle BOC\). К тому же эти треугольники равнобедренные (\(AB\) и \(BC\) их основания), следовательно, \(\angle ABO=\angle CBO=0,5\cdot 108^\circ=54^\circ\). Отсюда \(\angle AOB=180^\circ-2\cdot 54^\circ=72^\circ\).
Значит, дуга \(AB\) равна \(72^\circ\). Так как равные хорды стягивают равные дуги, а все стороны многоугольника равны (он правильный), то \(n\) вершин многоугольника разбивают окружность на \(n\) дуг, градусные меры которых равны \(72^\circ\). То есть \(72^\circ\cdot n=360^\circ\), откуда \(n=5\).

 

2 способ.
Так как многоугольник правильный, его угол равен \(108^\circ\), а сумма всех углов правильного многоугольника равна \(180^\circ\cdot (n-2)\), где \(n\) – число вершин, то \[108^\circ\cdot n=180^\circ(n-2)\quad\Rightarrow\quad n=5\] В таком случае информацию о том, что многоугольник вписан в окружность, мы не использовали.

Ответ: 5

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Во вписанном четырехугольнике \(LEGO\) стороны \(LE\) и \(GO\) равны. Найдите сумму углов \(\angle L\) и \(\angle E\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. хорды \(LE\) и \(GO\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{LE}\) и \(\buildrel\smile\over{GO}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle LOE=\angle LGE=\angle OLG=\angle OEG\]

Таким образом, \(LEGO\) – трапеция (\(\angle LOE=\angle OEG\) – накрест лежащие при прямых \(EG\) и \(LO\) и секущей \(EO\)). Значит, \(\angle L+\angle E=180^\circ\) как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

Ответ: 180

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) имеют общее основание, \(\angle ABC = \angle ADC\), \(M\) – точка пересечения \(AD\) и \(BC\), \(AM = 10\), \(MD = 6\), \(BM = 8\). Найдите \(MC\).

Добавить задание в избранное

Так как \(\angle ABC = \angle ADC\), то около четырёхугольника \(ABDC\) можно описать окружность. Покажем это:



\(\angle AMB\) и \(\angle DMC\) – вертикальные, тогда \(\angle AMB = \angle DMC\); \(\angle ABC = \angle ADC\), тогда треугольники \(ABM\) и \(DMC\) – подобны по двум углам, откуда получаем: \[\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{BM}{MD},\] но углы \(BMD\) и \(AMC\) также вертикальные, тогда \(\angle BMD = \angle AMC\) и треугольники \(BMD\) и \(AMC\) – подобны, так как если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

 

Из подобия получаем: \(\angle CBD = \angle CAD\), \(\angle MCD = BAM\), тогда \(\angle ABC + \angle CBD + \angle ACB + \angle BCD = \angle ABC + \angle CAD + \angle ACB + \angle BAM = 180^{\circ}\), так как это сумма углов треугольника \(ABC\).

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\), то около него можно описать окружность, тогда около \(ABDC\) можно описать окружность.

Так как произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой, то \(AM \cdot MD = BM \cdot MC\), то есть \(60 = 8\cdot MC\), откуда \(MC = 7,5\).

Ответ: 7,5

1 2 3 4 .... 6