Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.
\(\blacktriangleright\) Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).
Для вписанного треугольника верна формула \[\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R,\] где \(\alpha\) – угол треугольника, лежащий против стороны \(a\).
Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле
\[\Large{S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}}\]
\(\blacktriangleright\) Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\).
И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(\large{\angle\phi +
\angle\gamma=180^\circ}\), то около него можно описать окружность. (рис. 2)
\(\blacktriangleright\) Около выпуклого четырехугольника описана окружность \(\Leftrightarrow\) \(\large{\angle \alpha =\angle
\beta}\). (рис. 3)
Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле
\[{\large{S_{\text{впис.4-к}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},}}\]
где \(a,b,c,d\) – его стороны, \(p=\frac12(a+b+c+d)\) – полупериметр.
\(\blacktriangleright\) Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 4).
\(\blacktriangleright\) Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 5).
\(\blacktriangleright\) Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
И наоборот: около равнобедренной (и только равнобедренной) трапеции можно описать окружность (рис. 6).
