Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, описанная около многоугольника (страница 4)

Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).
Для вписанного треугольника верна формула \[\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R,\] где \(\alpha\) – угол треугольника, лежащий против стороны \(a\).

 

Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле

\[\Large{S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\).
И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\), то около него можно описать окружность. (рис. 2)

 

\(\blacktriangleright\) Около выпуклого четырехугольника описана окружность \(\Leftrightarrow\) \(\large{\angle \alpha =\angle \beta}\). (рис. 3)


 

Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле

\[{\large{S_{\text{впис.4-к}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},}}\]

где \(a,b,c,d\) – его стороны, \(p=\frac12(a+b+c+d)\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 4).

 

\(\blacktriangleright\) Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 5).

 

\(\blacktriangleright\) Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
И наоборот: около равнобедренной (и только равнобедренной) трапеции можно описать окружность (рис. 6).

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Шестиугольник \(ABCDEF\) вписан в окружность. Найдите \(\angle FAB + \angle BCD + \angle DEF\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

\(\angle FAB\), \(\angle BCD\) и \(\angle DEF\) – вписанные, тогда \(\angle FAB = 0,5\cdot\smile FEDCB\), \(\angle BCD = 0,5\cdot\smile BAFED\), \(\angle DEF = 0,5\cdot\smile FABCD\).


 

Таким образом,

\[\begin{aligned} \angle FAB + \angle BCD + \angle DEF &= 0,5\cdot\smile FEDCB + 0,5\cdot\smile BAFED + 0,5\cdot\smile FABCD =\\ &= 0,5(\smile FEDCB + \smile BAFED + \smile FABCD) = 0,5\cdot 2l = l, \end{aligned}\]

где \(l\) – градусная мера окружности.

Так как \(l = 360^\circ\), то \(\angle FAB + \angle BCD + \angle DEF = 360^\circ\).

Ответ: 360

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В окружность вписан пятиугольник \(ABCDE\), причем \(AB=BC=DE=EA\), \(\angle CAE=75^\circ\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\), \(\buildrel\smile\over{EA}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{DE}=\buildrel\smile\over{EA}=\alpha.\]

Пусть \(\buildrel\smile\over{CD}=\beta\).

 

Следовательно, вписанный угол \[\angle CAE=\frac12\left(\alpha+\beta\right)=75^\circ. \qquad (1)\]

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+\beta=360^\circ \qquad (2)\]

Решая систему из уравнений \((1)\) и \((2)\), получаем, что \(\alpha=70^\circ, \beta=80^\circ\).

 

Следовательно, \(\angle A=\frac12\left(2\alpha+\beta\right)=110^\circ\).

Ответ: 110

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Восьмиугольник \(ABCDEFGH\) вписан в окружность. Найдите \(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

\(\angle HAB\), \(\angle BCD\), \(\angle DEF\) и \(\angle FGH\) – вписанные, тогда \(\angle HAB = 0,5\cdot\smile BCDEFGH\), \(\angle BCD = 0,5\cdot\smile DEFGHAB\), \(\angle DEF = 0,5\cdot\smile FGHABCD\), \(\angle FGH = 0,5\cdot\smile HABCDEF\).



Назовём меньшую дугу \(\smile AB\) малой. Аналогично назовём меньшие дуги \(\smile BC\), ..., \(\smile HA\) малыми.

Каждую из дуг \(\smile BCDEFGH\), \(\smile DEFGHAB\), \(\smile FGHABCD\), \(\smile HABCDEF\) можно разложить в сумму малых дуг.

\(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 0,5\cdot\)(сумму некоторых малых дуг). Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.

Например, \(\smile AB\) войдёт трижды (среди слагаемых \(\smile BCDEFGH\), \(\smile DEFGHAB\), \(\smile FGHABCD\), \(\smile HABCDEF\) она не входит только в \(\smile BCDEFGH\)).

Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму трижды, следовательно, \[\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 0,5\cdot 3l,\] где \(l\) – градусная мера окружности.

Так как \(l = 360^\circ\), то \(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 540^\circ\).

Ответ: 540

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В окружность вписан пятиугольник \(ABCDE\), причем \(AB=BC=DE=EA\), \(\angle CAD=30^\circ\). Найдите меньший из углов данного пятиугольника. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\), \(\buildrel\smile\over{EA}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{DE}=\buildrel\smile\over{EA}=\alpha.\]

Т.к. \(\angle CAD=30^\circ\), то \(\buildrel\smile\over{CD}=60^\circ\).

 

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+60^\circ=360^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha=75^\circ\]

Таким образом, \(\angle A=\angle B=\angle E=\frac12\left(2\alpha+60^\circ\right)=105^\circ\), \(\angle C=\angle D=\frac12\cdot 3\alpha=112,5^\circ\). Следовательно, меньший из углов равен \(105^\circ\).

Ответ: 105

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE\). Угол \(A\) равен \(97,5^\circ\). Найдите угол \(ADE\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Следовательно, \(\angle A=\frac12\cdot 3\alpha=97,5^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha=65^\circ\).

 

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+\beta=360^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta=100^\circ\]

Тогда вписанный \(\angle ADE=\frac12\beta=50^\circ\).

Ответ: 50

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE=3\). \(O\) – точка пересечения отрезков \(BE\) и \(AD\). Найдите \(BO\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

1) Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Пусть также \(\buildrel\smile\over{EA}=\beta\).

 

2) \(\angle CBE=\frac12(\alpha+\alpha)=\alpha\), \(\angle BCD=\frac12(\alpha+\beta+\alpha)=\alpha+\frac12\beta\). Следовательно, \(\angle CBE+\angle BCD=2\alpha+\frac12\beta\).

 

Заметим, что вся окружность равна \(360^\circ\), следовательно, \(4\alpha+\beta=360^\circ\), откуда \(2\alpha+\frac12\beta=180^\circ\). Таким образом, \(\angle CBE\) и \(\angle BCD\) – односторонние углы при прямых \(CD\) и \(BE\) и секущей \(BC\). Следовательно, \(CD\parallel BE\).

 

Аналогично доказывается, что \(AD\parallel BC\).

 

3) Значит, \(BCDO\) – параллелограмм (\(BO\parallel CD, BC\parallel OD\)). А в параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(BO=CD=3\).

Ответ: 3

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE=4\sqrt3\), \(\angle A=90^\circ\). Найдите \(AE\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]

Следовательно, \(\angle A=90^\circ=\frac32\alpha\), откуда \(\alpha=60^\circ\).

 

Значит, вписанный \(\angle AEB=\frac12\alpha=30^\circ\). Следовательно, из прямоугольного треугольника \(AEB\)

\[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{AB}{AE} \quad \Rightarrow \quad AE=12.\]

Ответ: 12

1 .... 3 4 5 6