Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 4)

Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} 16^{x-\frac54}-3\cdot 4^{x-\frac32}+1\geqslant 0\\[2ex] \log_2\dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}\leqslant 1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, вторая волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство перепишем в виде \[\dfrac{16^x}{16^{\frac54}}-3\cdot \dfrac{4^x}{4^{\frac32}}+1\geqslant 0\] Заметим, что \(16^{\frac54}=\left(2^4\right)^{\frac54}=2^5\), а \(4^{\frac32}=\left(2^2\right)^{\frac32}=2^3\). Сделаем замену \(4^x=t>0\): \[\dfrac{t^2}{2^5}-3\dfrac{t}{2^3}+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-12t+32\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-4)(t-8)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;4]\cup[8;+\infty).\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &4^x\leqslant 4\\ &4^x\geqslant 8 \end{aligned} \end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 1\\ &x\geqslant \frac32\end{aligned} \end{gathered}\right.\]

2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно \[\begin{cases} \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}\leqslant 2\\[2ex] \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{2x^2-x-3}{3x-2}\leqslant 0\\[2ex] \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 \end{cases}\] Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого: \(x\in (-\infty;-1]\cup\left(\frac23;\frac32\right]\) и для второго: \(x\in \left(-\frac72;\frac23\right)\cup(1;+\infty)\). Пересекая эти решения, получим \(x\in \left(-\frac72;-1\right]\cup\left(1;\frac32\right]\).

 

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in\left(-\frac72;-1\right]\cup\left\{\frac32\right\}\).

Ответ:

\(\left(-\frac72;-1\right]\cup\{1,5\}\)

Задание 23
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} 19\cdot 4^x+4^{-x}\leqslant 20\\ x\cdot \log_{x+3}(7-2x)\geqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, резервный день)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Сделаем замену \(4^x=t>0\), тогда неравенство примет вид \[19t+\dfrac1t\leqslant 20\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{19t^2-20t+1}t\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(19t-1)(t-1)}t\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(t\in (-\infty;0)\cup\left[\frac1{19};1\right]\). Учитывая, что \(t>0\), получаем \(t\in \left[\frac1{19};1\right]\). Сделаем обратную замену: \[\dfrac1{19}\leqslant 4^x\leqslant 1 \quad \Leftrightarrow\quad 4^{\log_4{\frac1{19}}}\leqslant 4^x\leqslant 4^{0} \quad\Leftrightarrow\quad \log_4{\frac1{19}}\leqslant x\leqslant 0.\]

2) Второе неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} x+3>0\\ x+3\ne 1\\ 7-2x>0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-3;-2)\cup\left(-2;\frac72\right).\]

На ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно \[x(x+3-1)(7-2x-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x+2)(x-3)\leqslant 0\] Решая его методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2]\cup[0;3]\). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим \(x\in (-3;-2)\cup[0;3]\).

 

3) Заметим, что \(\log_4{\frac1{19}}=-\log_419\), следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in \left[-\log_419;-2\right)\cup\{0\}.\)

Ответ:

\(\left[-\log_419;-2\right)\cup\{0\}\)

Задание 24
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{11-x}(x+7)\cdot \log_{x+5}(9-x)\leqslant 0\\ 64^{x^2-3x+20}-0,125^{2x^2-6x-200}\leqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 11-x>0\\ 11-x\ne 1\\ x+7>0\\ x+5>0\\ x+5\ne 1\\ 9-x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-5;-4)\cup(-4;9).\]

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно \[(11-x-1)(x+7-1)(x+5-1)(9-x-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-10)(x+6)(x+4)(x-8)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in [-6;-4]\cup[8;10].\)

 

Пересечем с ОДЗ и получим \(x\in (-5;-4)\cup[8;9)\).

 

2) Второе неравенство. Заметим, что \(0,125=\frac18=8^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как \[8^{2x^2-6x+40}-\left(8^{-1}\right)^{2x^2-6x-200}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad 8^{2x^2-6x+40}\leqslant 8^{-2x^2+6x+200}\] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно \[2x^2-6x+40\leqslant -2x^2+6x+200\quad\Leftrightarrow\quad x^2-3x-40\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+5)(x-8)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-5;8]\]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: \(x\in (-5;-4)\cup\{8\}.\)

Ответ:

\(\left(-5;-4\right)\cup\{8\}\)

Задание 25
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{4-x}(x+4)\cdot \log_{x+5}(6-x)\leqslant 0\\ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ x+4>0\\ x+5>0\\ x+5\ne 1\\ 6-x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;3)\cup(3;4).\]

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно \[(4-x-1)(x+4-1)(x+5-1)(6-x-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-3)(x+3)(x+4)(x-5)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in [-4;-3]\cup[3;5].\)

 

Пересечем с ОДЗ и получим \(x\in (-4;-3]\cup(3;4)\).

 

2) Второе неравенство. Заметим, что \(0,2=\frac15=5^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как \[5^{2x^2-4x+20}-\left(5^{-1}\right)^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad 5^{2x^2-4x+20}\leqslant 5^{-2x^2+4x+80}\] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно \[2x^2-4x+20\leqslant -2x^2+4x+80\quad\Leftrightarrow\quad x^2-2x-15\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x-5)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;5]\]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: \(x\in \{-3\}\cup(3;4).\)

Ответ:

\(\{-3\}\cup(3;4)\)

Задание 26
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} 36^{x-\frac12}-7\cdot 6^{x-1}+1\geqslant 0\\ x\cdot \log_4(5-3x-x^2)\geqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство можно переписать в виде \[6^{2x-1}-7\cdot 6^{x-1}+1\geqslant 0\] Сделаем замену \(6^x=t>0\), тогда неравенство примет вид: \[\dfrac{t^2}6-\dfrac{7t}6+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-7t+6\geqslant 0\] Решим уравнение \(t^2-7t+6=0\). Его корнями будут \(t_1=1\) и \(t_2=6\). Следовательно, \(t^2-7t+6=(t-1)(t-6)\). Значит, неравенство примет вид \[(t-1)(t-6)\geqslant 0\] Решив его методом интервалов, получим \(t\in (-\infty;1]\cup[6;+\infty).\) Теперь сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &6^x\leqslant 1\\ &6^x\geqslant 6\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 0\\ &x\geqslant 1\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty).\]

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ: \[5-3x-x^2>0 \quad \Leftrightarrow\quad x^2+3x-5<0 \quad \Leftrightarrow\quad x\in\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;\dfrac{-3+\sqrt{29}}2\right).\] Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно \[x(4-1)(5-3x-x^2-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x^2+3x-4)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x(x-1)(x+4)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-4]\cup[0;1]\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства \(x\in \left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;-4\right]\cup[0;1].\)

 

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим \(x\in \left(-\frac12(\sqrt{29}+3);-4\right]\cup\{0;1\}.\)

Ответ:

\(\left(-\frac12(\sqrt{29}+3);-4\right]\cup\{0;1\}\)

Задание 27
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{5-x}\dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}\geqslant -10\\[3ex] x^3+8x^2+\dfrac{50x^2+x-7}{x-7}\leqslant 1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 5-x>0\\ 5-x\ne 1\\ \dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<5\\ x\ne 4\\ x\in (-4;5)\cup(5;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;4)\cup(4;5)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{5-x}\dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}+\log_{5-x}(5-x)^{10}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}\dfrac{(x+4)(5-x)^{10}}{(x-5)^{10}}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}(x+4)\geqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(5-x-1)(x+4-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;4]\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in [-3;4).\]

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю \[\begin{aligned} &\dfrac{x^4+8x^3-7x^3-56x^2+50x^2+x-7-x+7}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{x^2(x+3)(x-2)}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[2;7).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in \{-3;0\}\cup[2;4).\)

Ответ:

\(\{-3;0\}\cup[2;4)\)

Задание 28
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{3-x}\dfrac{x+4}{(x-3)^2}\geqslant -2\\[2ex] x^3+6x^2+\dfrac{21x^2+3x-12}{x-4}\leqslant 3 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 3-x>0\\ 3-x\ne 1\\ \dfrac{x+4}{(x-3)^2}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<3\\ x\ne 2\\ x\in (-4;3)\cup(3;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;2)\cup(2;3)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{3-x}(x+4)-\log_{3-x}(x-3)^2+2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3-x}(x+4)-\log_{3-x}(3-x)^2+2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3-x}(x+4)\geqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(3-x-1)(x+4-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;2]\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in [-3;2)\]

2) Второе неравенство равносильно: \[\dfrac{x^4+6x^3-4x^3-24x^2+21x^2+3x-12-3x+12}{x-4}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4+2x^3-3x^2}{x-4}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2(x+3)(x-1)}{x-4}\leqslant 0\] Решая его методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[1;4).\)

 

3) Пересечем решения обоих неравенств, получим \(x\in\{-3;0\}\cup \left[1;2\right)\).

Ответ:

\(\{-3;0\}\cup \left[1;2\right)\)

1 .... 3 4 5 6