Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 4)

Задание 22 #1629
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{4}^2(64 - x^2) - 5\log_{4}(64 - x^2) + 6 \geqslant 0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015)

ОДЗ: \[64 - x^2 > 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in (-8; 8).\] Сделаем замену \(y = \log_4(64 - x^2)\), тогда \[y^2 -5y + 6\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\).
\(\log_4(64 - x^2) \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_4(64 - x^2) \leqslant 2\) или \(\log_4(64 - x^2)\geqslant 3\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \leqslant 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \leqslant 16\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \geqslant 48\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \geqslant 3.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \geqslant 64\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\] Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-8; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; 8).\]

Ответ:

\(x\in(-8; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; 8)\)

Задание 23 #2702
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log^2_{2}(4+3x-x^2)+7\log_{0,5}(4+3x-x^2)+10>0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015)

ОДЗ: \[4 + 3x - x^2 > 0.\] При помощи метода интервалов находим, что ОДЗ: \[x\in (-1; 4).\] По свойству логарифма \[\log^2_{2}(4+3x-x^2)-7\log_{2}(4+3x-x^2)+10>0.\] Сделаем замену \(y = \log_{2}(4+3x-x^2)\), тогда \[y^2 -7y + 10 > 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)\).
\(\log_{2}(4+3x-x^2) \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_{2}(4+3x-x^2) < 2\) или \(\log_{2}(4+3x-x^2) > 5\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_{2}(4+3x-x^2) < 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[4+3x-x^2 < 4\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 3x > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-\infty; 0)\cup(3; +\infty).\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_{2}(4+3x-x^2) > 5\ \,\Leftrightarrow\ \, 4+3x-x^2 > 32\ \,\Leftrightarrow\ \, x^2 - 3x + 28 < 0\ \,\Leftrightarrow\ \, x \in \varnothing.\] Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; 0)\cup(3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-1; 0)\cup(3; 4).\]

Ответ:

\(x\in(-1; 0)\cup(3; 4)\)

Задание 24 #2778
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_3\left(\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}\right)\leqslant 1\\[2ex] \dfrac{2x^2+x-28}{(x-6)^2+(x-5)^3-1}\leqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, вторая волна, резервный день)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4-64}{4x^2}>0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\dfrac{(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2)(x^2+8)}{x^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)\end{aligned}\]

На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}\leqslant 3\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4-12x^2-64}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+4)(x^2-16)}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{(x^2+4)(x-4)(x+4)}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-4;0)\cup(0;4] \end{aligned}\]

Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \(x\in [-4;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4].\)

 

2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов \((x-5)^3-1=(x-5-1)((x-5)^2+x-5+1)=(x-6)(x^2-9x+21)\). Следовательно, знаменатель можно разложить на множители \((x-6)^2+(x-6)(x^2-9x+21)=(x-6)(x^2-8x+15)=(x-6)(x-3)(x-5)\).

 

Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде \[\dfrac{(2x-7)(x+4)}{(x-6)(x-3)(x-5)}\leqslant 0\] Решив полученное неравенство методом интервалов, получим \[x\in (-\infty;-4]\cup\left(3;\frac72\right]\cup(5;6).\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in \{-4\}\cup\left(3;\frac72\right]\)

Ответ:

\(\{-4\}\cup\left(3;\frac72\right]\)

Задание 25 #2777
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} 16^{x-\frac54}-3\cdot 4^{x-\frac32}+1\geqslant 0\\[2ex] \log_2\dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}\leqslant 1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, вторая волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство перепишем в виде \[\dfrac{16^x}{16^{\frac54}}-3\cdot \dfrac{4^x}{4^{\frac32}}+1\geqslant 0\] Заметим, что \(16^{\frac54}=\left(2^4\right)^{\frac54}=2^5\), а \(4^{\frac32}=\left(2^2\right)^{\frac32}=2^3\). Сделаем замену \(4^x=t>0\): \[\dfrac{t^2}{2^5}-3\dfrac{t}{2^3}+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-12t+32\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-4)(t-8)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;4]\cup[8;+\infty).\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &4^x\leqslant 4\\ &4^x\geqslant 8 \end{aligned} \end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 1\\ &x\geqslant \frac32\end{aligned} \end{gathered}\right.\]

2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно \[\begin{cases} \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}\leqslant 2\\[2ex] \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{2x^2-x-3}{3x-2}\leqslant 0\\[2ex] \dfrac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0 \end{cases}\] Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого: \(x\in (-\infty;-1]\cup\left(\frac23;\frac32\right]\) и для второго: \(x\in \left(-\frac72;\frac23\right)\cup(1;+\infty)\). Пересекая эти решения, получим \(x\in \left(-\frac72;-1\right]\cup\left(1;\frac32\right]\).

 

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in\left(-\frac72;-1\right]\cup\left\{\frac32\right\}\).

Ответ:

\(\left(-\frac72;-1\right]\cup\{1,5\}\)

Задание 26 #2776
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} 19\cdot 4^x+4^{-x}\leqslant 20\\ x\cdot \log_{x+3}(7-2x)\geqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, резервный день)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Сделаем замену \(4^x=t>0\), тогда неравенство примет вид \[19t+\dfrac1t\leqslant 20\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{19t^2-20t+1}t\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(19t-1)(t-1)}t\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(t\in (-\infty;0)\cup\left[\frac1{19};1\right]\). Учитывая, что \(t>0\), получаем \(t\in \left[\frac1{19};1\right]\). Сделаем обратную замену: \[\dfrac1{19}\leqslant 4^x\leqslant 1 \quad \Leftrightarrow\quad 4^{\log_4{\frac1{19}}}\leqslant 4^x\leqslant 4^{0} \quad\Leftrightarrow\quad \log_4{\frac1{19}}\leqslant x\leqslant 0.\]

2) Второе неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} x+3>0\\ x+3\ne 1\\ 7-2x>0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-3;-2)\cup\left(-2;\frac72\right).\]

На ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно \[x(x+3-1)(7-2x-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x+2)(x-3)\leqslant 0\] Решая его методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2]\cup[0;3]\). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим \(x\in (-3;-2)\cup[0;3]\).

 

3) Заметим, что \(\log_4{\frac1{19}}=-\log_419\), следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in \left[-\log_419;-2\right)\cup\{0\}.\)

Ответ:

\(\left[-\log_419;-2\right)\cup\{0\}\)

Задание 27 #2775
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{11-x}(x+7)\cdot \log_{x+5}(9-x)\leqslant 0\\ 64^{x^2-3x+20}-0,125^{2x^2-6x-200}\leqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 11-x>0\\ 11-x\ne 1\\ x+7>0\\ x+5>0\\ x+5\ne 1\\ 9-x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-5;-4)\cup(-4;9).\]

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно \[(11-x-1)(x+7-1)(x+5-1)(9-x-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-10)(x+6)(x+4)(x-8)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in [-6;-4]\cup[8;10].\)

 

Пересечем с ОДЗ и получим \(x\in (-5;-4)\cup[8;9)\).

 

2) Второе неравенство. Заметим, что \(0,125=\frac18=8^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как \[8^{2x^2-6x+40}-\left(8^{-1}\right)^{2x^2-6x-200}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad 8^{2x^2-6x+40}\leqslant 8^{-2x^2+6x+200}\] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно \[2x^2-6x+40\leqslant -2x^2+6x+200\quad\Leftrightarrow\quad x^2-3x-40\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+5)(x-8)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-5;8]\]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: \(x\in (-5;-4)\cup\{8\}.\)

Ответ:

\(\left(-5;-4\right)\cup\{8\}\)

Задание 28 #2965
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{4-x}(x+4)\cdot \log_{x+5}(6-x)\leqslant 0\\ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ x+4>0\\ x+5>0\\ x+5\ne 1\\ 6-x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;3)\cup(3;4).\]

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно \[(4-x-1)(x+4-1)(x+5-1)(6-x-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-3)(x+3)(x+4)(x-5)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in [-4;-3]\cup[3;5].\)

 

Пересечем с ОДЗ и получим \(x\in (-4;-3]\cup(3;4)\).

 

2) Второе неравенство. Заметим, что \(0,2=\frac15=5^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как \[5^{2x^2-4x+20}-\left(5^{-1}\right)^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad 5^{2x^2-4x+20}\leqslant 5^{-2x^2+4x+80}\] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно \[2x^2-4x+20\leqslant -2x^2+4x+80\quad\Leftrightarrow\quad x^2-2x-15\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x-5)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;5]\]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: \(x\in \{-3\}\cup(3;4).\)

Ответ:

\(\{-3\}\cup(3;4)\)