Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 15
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[(2+\sqrt3)^{x^2-7}\leqslant 7+4\sqrt3\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Заметим, что \((2+\sqrt3)^2=2^2+2\cdot 2\sqrt3+(\sqrt3)^2=7+4\sqrt3\). Следовательно, неравенство равносильно \[(2+\sqrt3)^{x^2-7}\leqslant (2+\sqrt3)^2\] Т.к. основание больше единицы (\(2+\sqrt3>1\)), то неравенство равносильно \[x^2-7\leqslant 2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-9\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)(x+3)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in[-3;3]\).

Ответ:

\([-3;3]\)

Задание 16
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(\sqrt2-\dfrac12\right)^{\frac{x^2-1}x}\geqslant \dfrac12-\sqrt2\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\ne 0\).

 

Заметим, что \(\dfrac12-\sqrt2<0\), следовательно, смысл неравенства: левая часть не меньше некоторого отрицательного числа.

 

Т.к. по определению показательная функция всегда принимает только положительные значения, то есть \(\left(\sqrt2-\dfrac12\right)^{\frac{x^2-1}x}>0\) при всех \(x\) из ОДЗ, то решением неравенства является только ОДЗ.

 

Следовательно, \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 27^x - 3 + 3\cdot 9^x - 3^x\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 3^{3x} + 3\cdot 3^{2x} - 3^x - 3\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 3^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 + 3y^2 - y - 3\leqslant 0 \end{aligned}\]

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первые два и последние два):

\[\begin{aligned} y^2(y + 3) - (y + 3)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (y^2 - 1)(y + 3)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (y - 1)(y + 1)(y + 3)\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(y > 0\):



откуда \(y\in(0; 1]\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству \[0 < 3^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^x\leqslant 3^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

Ответ:

\((-\infty; 0]\)

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x - 3\cdot 4^{x} + 3\cdot 2^x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^{3x} - 3\cdot 2^{2x} + 3\cdot 2^x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 2^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 -3y^2 + 3y - 1\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^3 \leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(y > 0\):



откуда \(y\in(0; 1]\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству \[0 < 2^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\leqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

Ответ:

\((-\infty; 0]\)

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решить неравенство \[4^x-4\cdot 2^x+3+\dfrac1{4^x-4\cdot 2^x+5}>0\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(t=4^x-4\cdot 2^x+5\). Тогда неравенство примет вид: \[t-2+\dfrac1t>0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-2t+1}t>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}t>0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, решением являются: \[\begin{cases} t>0\\ t\ne 1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 4^x-4\cdot 2^x+5>0\\ 4^x-4\cdot 2^x+5\ne 1 \end{cases}\]

Сделав замену \(2^x=y\), система приобретет вид: \[\begin{cases} y^2-4y+5>0\\ y^2-4y+4\ne 0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} (y-2)^2>-1\\ (y-2)^2\ne 0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} y\in\mathbb{R}\\ y\ne 2 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad y\ne 2\]

Сделаем обратную замену: \[2^x\ne 2\quad\Leftrightarrow\quad x\ne 1.\]

Ответ:

\(x \in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\)

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 7^{2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 14} > 2 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Исходное неравенство можно переписать в виде

\[\begin{aligned} &7^{2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 14} > 7^{\log_7 2}\ \Leftrightarrow\ 2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 7 + \log_7 2 > \log_7 2\ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\ 2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + 1 > 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(7^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} 2t^2 - 3t + 1 > 0 \end{aligned}\]

Корни левой части последнего неравенства: \[t_1 = 1\qquad t_2 = 0,5\] тогда само неравенство равносильно \[2(t - 1)(t - 0,5) > 0\]

По методу интервалов при \(t > 0\)



откуда \(t\in(0; 0,5)\cup(1; +\infty)\), следовательно, \[x\in(-\infty; \log_7 0,5)\cup(0; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; \log_7 0,5)\cup(0; +\infty)\)

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{2^{\frac{x}{x+1}}-2^{\frac{5x+3}{x+1}}+8\leqslant 2^{\frac{2x}{x+1}}}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Т.к. показательная функция всегда положительна, то умножим обе части неравенства на \(2^{\frac{-2x}{x+1}}>0\):

\[{\large{2^{\frac{-x}{x+1}}-2^{\frac{5x+3-2x}{x+1}}+8\cdot2^{\frac{-2x}{x+1}} \leqslant 1}}\]

Сделаем замену \(2^{\frac{-x}{x+1}}=t>0\):

\[t-2^3+8t^2\leqslant 1 \quad\Leftrightarrow\quad (8t+9)(t-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad -\frac98\leqslant t\leqslant 1.\]

Т.к. всегда \(t>0\), то данное неравенство равносильно \(t\leqslant 1\). Сделаем обратную замену: \[{\large{2^{\frac{-x}{x+1}}\leqslant 1}}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-x}{x+1}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-1)\cup[0;+\infty).\]

Ответ:

\((-\infty;-1)\cup[0;+\infty)\)

1 2 3 4 5