Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 15 #2520
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[(2+\sqrt3)^{x^2-7}\leqslant 7+4\sqrt3\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Заметим, что \((2+\sqrt3)^2=2^2+2\cdot 2\sqrt3+(\sqrt3)^2=7+4\sqrt3\). Следовательно, неравенство равносильно \[(2+\sqrt3)^{x^2-7}\leqslant (2+\sqrt3)^2\] Т.к. основание больше единицы (\(2+\sqrt3>1\)), то неравенство равносильно \[x^2-7\leqslant 2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-9\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)(x+3)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in[-3;3]\).

Ответ:

\([-3;3]\)

Задание 16 #2519
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(\sqrt2-\dfrac12\right)^{\frac{x^2-1}x}\geqslant \dfrac12-\sqrt2\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\ne 0\).

 

Заметим, что \(\dfrac12-\sqrt2<0\), следовательно, смысл неравенства: левая часть не меньше некоторого отрицательного числа.

 

Т.к. по определению показательная функция всегда принимает только положительные значения, то есть \(\left(\sqrt2-\dfrac12\right)^{\frac{x^2-1}x}>0\) при всех \(x\) из ОДЗ, то решением неравенства является только ОДЗ.

 

Следовательно, \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)

Задание 17 #2404
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 27^x - 3 + 3\cdot 9^x - 3^x\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 3^{3x} + 3\cdot 3^{2x} - 3^x - 3\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 3^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 + 3y^2 - y - 3\leqslant 0 \end{aligned}\]

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первые два и последние два):

\[\begin{aligned} y^2(y + 3) - (y + 3)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (y^2 - 1)(y + 3)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (y - 1)(y + 1)(y + 3)\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(y > 0\):



откуда \(y\in(0; 1]\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству \[0 < 3^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^x\leqslant 3^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

Ответ:

\((-\infty; 0]\)

Задание 18 #2403
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x - 3\cdot 4^{x} + 3\cdot 2^x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^{3x} - 3\cdot 2^{2x} + 3\cdot 2^x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 2^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 -3y^2 + 3y - 1\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^3 \leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(y > 0\):



откуда \(y\in(0; 1]\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству \[0 < 2^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\leqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

Ответ:

\((-\infty; 0]\)

Задание 19 #3034
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решить неравенство \[4^x-4\cdot 2^x+3+\dfrac1{4^x-4\cdot 2^x+5}>0\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(t=4^x-4\cdot 2^x+5\). Тогда неравенство примет вид: \[t-2+\dfrac1t>0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-2t+1}t>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}t>0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, решением являются: \[\begin{cases} t>0\\ t\ne 1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 4^x-4\cdot 2^x+5>0\\ 4^x-4\cdot 2^x+5\ne 1 \end{cases}\]

Сделав замену \(2^x=y\), система приобретет вид: \[\begin{cases} y^2-4y+5>0\\ y^2-4y+4\ne 0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} (y-2)^2>-1\\ (y-2)^2\ne 0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} y\in\mathbb{R}\\ y\ne 2 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad y\ne 2\]

Сделаем обратную замену: \[2^x\ne 2\quad\Leftrightarrow\quad x\ne 1.\]

Ответ:

\(x \in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\)

Задание 20 #3835
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[125^x-25^x+\dfrac{4\cdot 25^x-20}{5^x-5}\leqslant 4\]

Добавить задание в избранное

Так как \(25^x=(5^x)^2, \ 125^x=(5^x)^3\), то сделаем замену \(5^x=t\) и неравенство примет рациональный вид: \[t^3-t^2+\dfrac{4t^2-20}{t-5}\leqslant 4\quad\Leftrightarrow\quad t^3-t^2+\dfrac{4t^2-20-4(t-5)}{t-5}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2(t-1)+\dfrac{4t(t-1)}{t-5}\leqslant 0\] Вынесем за скобки \(t(t-1)\): \[t(t-1)\cdot \left(t+\dfrac 4{t-5}\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t(t-1)\cdot \dfrac{t^2-5t+4}{t-5}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(t-1)(t-1)(t-4)}{t-5}\leqslant 0\] (так как \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\))
Решим полученное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;0]\cup\{1\}\cup[4;5)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &5^x\leqslant 0\\ &5^x=1\\ &4\leqslant 5^x<5 \end{aligned} \end{gathered}\right.\quad\leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in\varnothing\\ &x=0\\ &\log_54\leqslant x<1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\] (так как по определению показательной функции \(5^x>0\) для любого \(x\), то неравенство \(5^x\leqslant 0\) не имеет решений)

Ответ:

\(\{0\}\cup[\log_54;1)\)

Задание 21 #3826
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{\dfrac 3{\left(2^{2-x^2}-1\right)^2}-\dfrac 4{2^{2-x^2}-1}+1\geqslant 0}}\]

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(t=2^{2-x^2}\). Тогда неравенство примет вид: \[\dfrac 3{(t-1)^2}-\dfrac 4{t-1}+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{3-4(t-1)+(t-1)^2}{(t-1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-6t+8}{(t-1)^2}\geqslant 0\] Так как \(t^2-6t+8=(t-2)(t-4)\), то \[\dfrac{(t-2)(t-4)}{(t-1)^2}\geqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;1)\cup (1;2]\cup[4;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^{2-x^2}<1\\[1ex] &1<2^{2-x^2}\leqslant 2\\[1ex] &2^{2-x^2}\geqslant 4\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2-x^2<0\\[1ex] &0<2-x^2\leqslant 1\\[1ex] &2-x^2\geqslant 2\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2>2\\[1ex] &1\leqslant x^2<2\\[1ex] &x^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого неравенства будут \(x\in (-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\) (так как \(x^2>2\quad\Leftrightarrow\quad |x|>\sqrt2\)).
Решением второго неравенства будут \(x\in (-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2)\) (так как \(x^2\geqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad |x|\geqslant 1\), а \(x^2<2\quad\Leftrightarrow\quad |x|<\sqrt2\), и данные решения нужно пересечь).
Решением третьего неравенства будут \(x\in \{0\}\) (так как любое выражение в квадрате всегда \(\geqslant 0\), следовательно, оно может быть \(\leqslant 0\) тогда и только тогда, когда оно равно нулю).
Следовательно, ответ: \[x\in (-\infty;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1]\cup\{0\}\cup[1;\sqrt2) \cup(\sqrt2;+\infty)\]

Ответ:

\((-\infty;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1]\cup\{0\}\cup[1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\)

1 2 3 4 .... 7