Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи по теории вероятности

$\blacktriangleright$ Если для выполнения события C необходимо выполнение хотя бы одного из двух несовместных (которые не могут произойти одновременно) событий A и B (C = {A или B}), то вероятность события C равна сумме вероятностей событий A и B.

$\blacktriangleright$ Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события C – это вероятность попасть в один из кругов.



$\blacktriangleright$ Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события C = {выпадет число, делящееся на три}.
Можно сказать, что для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число 3 или число 6.
Значит, A = {выпадет 3}, B = {выпадет 6}, причем эти события несовместны!

Тогда $P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13$.

$\blacktriangleright$ В случае совместности событий данная формула уже не верна.
Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события C = {выпадет четное число}. Ответ должен быть $P(C)=\dfrac12$.
Но если принять за A = {выпадет число, делящееся на 2}, B = {выпадет число, делящееся на 4}, то $P(C)=\dfrac12+\dfrac16\ne \dfrac12$,
потому что события A и B совместны: они могут произойти одновременно, когда выпадет 4.

Задание 1
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Илья решает задачу по геометрии, в которой дан четырёхугольник \(ABCD\), причём \(AB = 5\), \(BC = 6\), \(CD = 4\), \(AD = 10\). В условии задачи сказано, что одна из вершин является центром некоторой окружности и Илья думает, какую вершину ему выбрать в качестве центра этой самой окружности.

Известно, что вероятность выбора каждой конкретной вершины пропорциональна сумме длин сторон четырёхугольника \(ABCD\), проходящих через эту вершину. Какова вероятность того, что Илья выберет вершину \(B\)?

Добавить задание в избранное

Через вершину \(A\) проходят стороны \(AB\) и \(AD\), их сумма: \(AB + AD = 15\).

Через вершину \(B\) проходят стороны \(AB\) и \(BC\), их сумма: \(AB + BC = 11\).

Через вершину \(C\) проходят стороны \(BC\) и \(CD\), их сумма: \(BC + CD = 10\).

Через вершину \(D\) проходят стороны \(CD\) и \(DA\), их сумма: \(CD + DA = 14\).

Обозначим вероятность выбора вершины \(A\) через \(P(A)\) (для остальных вершин аналогично). Тогда по условию имеем: \[P(A) = 15k,\qquad P(B) = 11k,\qquad P(C) = 10k,\qquad P(D) = 14k\,,\] но \(P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1\), тогда \(k = 0,02\), откуда находим: \(P(B) = 0,22\).

Ответ: 0,22

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Монетку подбросили 10 раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 9 орлов? Ответ округлите до тысячных.

Добавить задание в избранное

Условие того, что выпало не менее 9 орлов эквивалентно тому, что выпало не более 1 решки, то есть либо ровно 1 решка, либо 0 решек.

Количество всевозможных различных исходов в серии из 10 испытаний равно \(2^{10} = 1024\).

Среди них есть 11 исходов, подходящих под условие: (Орёл; Орёл; ...; Орёл), (Орёл; Орёл; ...; Орёл; Решка), (Орёл; Орёл; ...; Решка; Орёл), ..., (Решка; Орёл; ...; Орёл), следовательно, искомая вероятность равна \[\dfrac{11}{1024}.\] После округления получим \(0,011\).

Ответ: 0,011

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Монетку подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 3 орлов? Ответ округлите до тысячных.

Добавить задание в избранное

Условие того, что выпало не менее 3 орлов эквивалентно тому, что выпали только орлы.

Количество всевозможных различных исходов в серии из 3 испытаний равно \(2^3 = 8\). Среди них есть ровно один исход, подходящий под условие: (Орёл; Орёл; Орёл). Таким образом, искомая вероятность равна \[\dfrac{1}{8} = 0,125.\]

Ответ: 0,125

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Монетку подбросили 2 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 1 орла? Ответ округлите до тысячных.

Добавить задание в избранное

Всевозможных исходов в серии из 2 подбрасываний может быть \(2^2 = 4\): (Орёл; Орёл), (Орёл; Решка), (Решка; Орёл), (Решка; Решка).

Среди выписанных (всевозможных) исходов под условие задачи подходят первые 3, следовательно, искомая вероятность равна \[\dfrac{3}{4} = 0,75.\]

Ответ: 0,75

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Игорь трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём, а сумма результатов подбрасываний не будет делиться на \(3\)? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Так как игральная кость правильная, то вероятность выпадения каждой грани равна \(\dfrac{1}{6}\). Среди чисел на гранях есть два числа, дающих при делении на \(3\) остаток \(0\), два числа, дающих при делении на \(3\) остаток \(1\) и два числа, дающих при делении на \(3\) остаток \(2\).

Тогда вероятность за одно подбрасывание получить, например, число, дающее при делении на \(3\) остаток \(1\), равна \(\dfrac{1}{3}\). С другими остатками аналогично.

Условие задачи можно переформулировать в следующем виде: какова вероятность за три подбрасывания получить результаты, остатки от деления на \(3\) которых будут содержать единственный \(0\) и два одинаковых числа?

Таким образом, нас устраивают исходы, остатки от деления на \(3\) которых будут иметь вид:

\[\begin{aligned} &0,\quad 1,\quad 1\\ &1,\quad 0,\quad 1\\ &1,\quad 1,\quad 0\\ &0,\quad 2,\quad 2\\ &2,\quad 0,\quad 2\\ &2,\quad 2,\quad 0\,. \end{aligned}\]

Вероятность любого из выписанных исходов равна \[\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\,.\] При этом различных исходов здесь шесть, следовательно, вероятность получения подходящего исхода равна \[6\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\,.\] После округления получим ответ \(0,22\).

Ответ: 0,22

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Таня заметила, что в казино “Подкинем” используют неправильную игральную кость (т.е. не у всех граней вероятности выпадения одинаковы). При этом она установила, что вероятность выпадения чётного числа равна \(0,6\); вероятность выпадения числа, делящегося на \(3\), равна \(0,3\); вероятность того, что выпадет \(1\) или \(5\), равна \(0,22\). Найдите вероятность того, что на этой игральной кости выпадет число \(3\). Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Вероятность выпадения числа \(n\) обозначим через \(P(\{n\})\), вероятность выпадения одного из чисел \(m\) и \(n\) обозначим через \(P(\{m; n\})\), а вероятность выпадения одного из чисел \(m\), \(n\) и \(k\) обозначим через \(P(\{m; n; k\})\). Тогда \[P(\{2; 4; 6\}) = 0,6\qquad\Leftrightarrow\qquad P(\{1; 3; 5\}) = 1 - 0,6 = 0,4\]

При этом \(P(\{1; 5\}) = 0,22\), но ведь \(P(\{1; 3; 5\}) - P(\{1; 5\}) = P(\{3\})\), следовательно, \[P(\{3\}) = 0,4 - 0,22 = 0,18\,.\]

Ответ: 0,18

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Миша и Маша играют в игру: Миша пишет на доске натуральное число \(a\), а Маша – натуральное число \(b\). Затем Миша стирает свое число и вместо него записывает модуль суммы \(a\) и \(b\), а Маша – стирает свое и пишет модуль разности \(a\) и \(b\). Затем с новыми числами они проделывают то же самое. Найдите вероятность того, что через 100 таких действий произведение чисел, записанных на доске, будет кратно 4.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим все возможные варианты:
1) Миша написал четное число, Маша – нечетное. Тогда на втором шаге на доске будут написаны нечетное и нечетное числа. На третьем шаге: четное и четное числа. На четвертом, пятом и т.д.: четное и четное. Тогда на 100 шаге произведение этих чисел будет всегда делиться на 4.
2) Миша написал четное, Маша – тоже четное. Тогда аналогично первому случаю на всех последующих шагах на доске тоже будут написаны два четных числа, следовательно, на 100 шаге их произведение всегда будет делиться на 4.
3) Миша и Маша написали нечетные числа. Тогда на втором шаге на доске будут написаны четные числа, как и на всех следующих шагах (аналогично второму случаю). Следовательно, на 100 шаге их произведение будет всегда делиться на 4.
Таким образом, в любом случае произведение чисел будет делиться на 4. Значит, вероятность этого события равна 1.

Ответ: 1

Если выпускник готовится к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня, ему необходимо научиться решать задачи на применение теории вероятности повышенной сложности. Как показывает практика многих лет, такие задания являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому если учащийся не до конца понимает принцип решения сложных задач на теорию вероятности, ему обязательно стоит вновь разобраться в данной теме.

Вместе с образовательным порталом «Школково» старшеклассники смогут качественно подготовиться к прохождению аттестационного испытания. Наш сайт позволит определить наиболее сложные темы и восполнить пробелы в знаниях. Опытные специалисты «Школково» подготовили весь необходимый материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли легко справиться с решением сложных задач ЕГЭ на теорию вероятности. Базовая информация по данной теме представлена в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы попрактиковаться в выполнении сложных задач ЕГЭ по теории вероятности, школьники могут выполнить соответствующие упражнения. Простые и сложные задания, подобранные нашими специалистами, содержат подробные алгоритмы решения и правильные ответы. База заданий регулярно обновляется и дополняется.

Выполнять упражнения школьники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.