Задачи, сводящиеся к решению неравенств (страница 3)

Моменты \(t\), в которые мяч находился на высоте не менее \(0,5\) метра, удовлетворяют неравенству \[0,5 + 25t - 5t^2 \geq 0,5 \qquad\Leftrightarrow\qquad 25t - 5t^2 \geq 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 5t \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 5t = 0\): \[t_1 = 0, \qquad\qquad t_2 = 5,\] тогда:



следовательно, мяч находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени \(t\in[0;5]\), то есть в течение \(5 - 0 = 5\) секунд.

Ответ: 5

\[R = P\cdot Q = 29P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \(29P - P^2 \geq 100\), что равносильно \[P^2 - 29P + 100 \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 29P + 100 = 0\): \[P_1 = 4, \qquad\qquad P_2 = 25,\] тогда:



то есть наименьшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб., равна 4 тыс. руб.

Ответ: 4

Начальные параметры обозначим с индексом 0, тогда \[\rho g h S_{\text{дна}} = F \geq 16F_0 = 16\rho g h S_{\text{дна}_0},\] откуда \(S_{\text{дна}} \geq 16S_{\text{дна}_0}\).

Так как \(S_\text{круга} = \pi r^2\), где \(r\) – радиус этого круга, то последнее неравенство эквивалентно \[r^2 - 16{r_0}^2 \geq 0.\] Обозначим искомое отношение через \(k = \dfrac{r}{r_0}\), тогда \(r = kr_0\) и последнее неравенство перепишется в виде \[k^2{r_0}^2 - 16{r_0}^2 \geq 0\qquad\Leftrightarrow\qquad k^2 - 16 \geq 0\] (так как \({r_0}^2 > 0\)). Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(k^2 - 16 = 0\): \[k = \pm 4.\] Тогда:



но \(k \geq 0\) (так как \(r \geq 0, \ r_0 \geq 0\)), тогда подходят \(k \geq 4\), то есть радиус основания надо увеличить минимум в 4 раза.

Ответ: 4

Так как \(\sin 120^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то \[\dfrac{1445\sqrt{3}}{98} \leq l = \dfrac{{v_0}^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{9,8}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1445\sqrt{3}}{98} \leq \dfrac{5{v_0}^2\cdot\sqrt{3}}{98} \qquad\Leftrightarrow\qquad {v_0}^2 - 289 \geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \({v_0}^2 - 289 = 0\): \[v_0 = \pm 17.\] Тогда:



но \(v_0 \geq 0\), тогда подходят \(v_0 \geq 17\), то есть минимальная подходящая скорость равна \(17\) м/с.

Ответ: 17

Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна \(F_0\) Н, а начальное расстояние между ними равно \(R_0\) м, тогда \[G\dfrac{m_1m_2}{R^2} = F \leq 10,24 F_0 = 10,24 G\dfrac{m_1m_2}{{R_0}^2},\] откуда \(\dfrac{1}{R^2}\leq 10,24\dfrac{1}{{R_0}^2}\), что равносильно \(R^2 \geq 10,24{R_0}^2\).

Обозначим искомую величину за \(k = \dfrac{R}{R_0}\), тогда \(R = kR_0\), откуда \(k^2{R_0}^2 \geq 10,24 {R_0}^2\). Поделим неравенство на \({R_0}^2\) (\({R_0}^2 > 0\)): \(k^2 \geq 10,24\), что равносильно \[k^2 - 10,24 \geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(k^2 - 10,24 = 0\): \[k_1 = -3,2,\qquad\qquad k_2 = 3,2,\] тогда:



но расстояние между материальными точками – неотрицательно, следовательно, \(k\geq 0\), тогда расстояние между материальными точками можно увеличить минимум в \(3,2\) раза.

Ответ: 3,2

Так как \(\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена как наименьшее положительное решение неравенства \[\dfrac{{v_0}^2\cdot(\frac{1}{2})^2}{2\cdot 10} \geq 2,8125 \qquad\Leftrightarrow\qquad {v_0}^2 - 225 \geq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \({v_0}^2 - 225 = 0\): \[v_{0_1} = -15,\qquad\qquad v_{0_2} = 15,\] тогда:



то есть наименьшее положительное решение этого неравенства равно 15, следовательно, Артем бросил камень со скоростью 15 м/с.

Ответ: 15

\[R = P\cdot Q = 55P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \[55P - P^2 \geq 250\qquad\Leftrightarrow\qquad P^2 - 55P + 250 \leq 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 55P + 250 = 0\): \[P_1 = 5,\qquad\qquad P_2 = 50,\] тогда:



то есть наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(250\) тыс. руб., равна 50 тыс. руб.

Ответ: 50